Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: 36 x^{2}-16 y^{2}-9 z^{2}-144=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádrupla
36x^{2}-16y^{2}-9z^{2}-144=0
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas: vamos reduzir à forma canônica para identificar o tipo e depois analisar seções planas para esboçar.

Passo 2

Dividimos toda a equação por 144 para obter a forma canônica:
\frac{36x^{2}}{144}-\frac{16y^{2}}{144}-\frac{9z^{2}}{144}=1
isto é
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1.

Passo 3

Comparemos com as formas padrão de hiperboloides:
– Se a equação tiver um sinal positivo e dois sinais negativos, como
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
temos um hiperboloide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo da variável com coeficiente positivo (aqui, o eixo x).

Passo 4

Para entender a forma das folhas, olhemos às seções:
  1. Plano x=k. Se |k|<2, o lado esquerdo fica negativo e não há pontos reais; se |k|\ge2, surgem elipses definidas por \frac{k^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=\frac{k^{2}}{4}-1\,.
  2. Planos y=\text{const} ou z=\text{const} dão hipérboles, mas o mais importante para o esboço são as elipses em seções x=\text{const}.

Passo 5

Com isso, o esboço fica assim: duas “taças” simétricas ao redor da origem, uma aberta para +x e outra para -x, com vértices em (2,0,0) e (-2,0,0). Cada folha expande-se em elipses nos planos x=k conforme |k| cresce.

Resposta

A superfície é um hiperboloide de duas folhas centrado na origem, de eixo ao longo de x, com equação canônica
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1
e vértices em (\pm2,0,0).

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