Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádrupla
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas: vamos reduzir à forma canônica para identificar o tipo e depois analisar seções planas para esboçar.
Passo 2
Dividimos toda a equação por
para obter a forma canônica:
isto é
Passo 3
Comparemos com as formas padrão de hiperboloides:
– Se a equação tiver um sinal positivo e dois sinais negativos, como
– Se a equação tiver um sinal positivo e dois sinais negativos, como
temos um hiperboloide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo da variável com coeficiente positivo (aqui, o eixo
).
Passo 4
Para entender a forma das folhas, olhemos às seções:
- Plano
. Se , o lado esquerdo fica negativo e não há pontos reais; se , surgem elipses definidas por - Planos
ou dão hipérboles, mas o mais importante para o esboço são as elipses em seções .
Passo 5
Com isso, o esboço fica assim: duas “taças” simétricas ao redor da origem, uma aberta para
e outra para
, com vértices em
e
. Cada folha expande-se em elipses nos planos
conforme
cresce.
Resposta
A superfície é um hiperboloide de duas folhas centrado na origem, de eixo ao longo de
, com equação canônica
e vértices em
.