Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: 9 y^{2}-x^{2}-9=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície
S:\;9y^{2}-x^{2}-9=0
e pede para identificá-la e esboçá-la. Observamos que a variável z não aparece na equação, então pensamos em seções paralelas ao plano xy.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando o termo constante e dividindo por 9 para entrar na forma padrão de uma cônica:
9y^{2}-x^{2}=9 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{9}=1.

Passo 3

A forma
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1
com a^{2}=1 e b^{2}=9 é a equação de uma hipérbole no plano xy, cujos ramos abrem-se ao longo do eixo y (para y\ge1 e para y\le-1).

Passo 4

Como z não aparece, cada valor fixo de z dá exatamente essa hipérbole no plano xy. Isso significa que a superfície é um cilindro cujas geratrizes são paralelas ao eixo z e cuja base é a hipérbole do passo anterior. Chamamos isso de cilindro hiperbólico.

Passo 5

Para esboçar:
  1. No plano xy desenhe a hipérbole \displaystyle \frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{9}=1, com vértices em (0,1) e (0,-1).
  2. Em cada ponto dessa curva trace uma reta paralela ao eixo z. O conjunto dessas retas forma o cilindro hiperbólico.

Resposta

A superfície S é um cilindro hiperbólico gerado pela hipérbole
\frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{9}=1
no plano xy, estendida por retas paralelas ao eixo z.

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