Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: 4 y^{2}+9 z^{2}-36 y=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de superfície é
\mathbf{S}:\;4y^{2}+9z^{2}-36y=0
e fazer um esboço. O conteúdo envolve classificação de superfícies quadráticas e reconhecimento de cilindros.

Passo 2

Reescrevemos a parte em y completando o quadrado:
4y^{2}-36y = 4\bigl(y^{2}-9y\bigr) =4\Bigl[(y-{\tfrac92})^{2}-\bigl(\tfrac92\bigr)^{2}\Bigr] =4(y-\tfrac92)^{2}-4\cdot\tfrac{81}{4} =4(y-\tfrac92)^{2}-81.
Substituindo em \mathbf{S} e isolando termos, fica
4(y-\tfrac92)^{2}-81+9z^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4(y-\tfrac92)^{2}+9z^{2}=81.

Passo 3

Dividindo tudo por 81 obtemos a forma padrão da seção em yz:
\frac{(y-\tfrac92)^{2}}{(\tfrac92)^{2}} \;+\;\frac{z^{2}}{3^{2}} =1.
Note que a variável x não aparece, então essa curva elíptica em cada plano x=\text{constante} gera um cilindro. Logo, \mathbf{S} é um cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo Ox.

Passo 4

Para esboçar, desenhe no plano yz a elipse centrada em \bigl(y=\tfrac92,\;z=0\bigr) com semi-eixos \tfrac92 em y e 3 em z, e depois “puxe” essa elipse ao longo de todo o eixo x.

Resposta

Superfície cilíndrica elíptica com equação
\frac{(y-\tfrac92)^{2}}{(\tfrac92)^{2}} +\frac{z^{2}}{3^{2}} =1,
eixo central paralelo a Ox.

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