Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádrupla
e pede para identificá-la (tipo de quádrupla) e esboçá-la. Vamos completar quadrados em
,
e
para obter a forma canônica.
Passo 2
Agrupamos termos e completamos quadrados:
Em cada grupo:
Logo,
Passo 3
Desenvolvendo as constantes:
Dividindo tudo por
:
Passo 4
Da forma
vemos que há dois termos positivos e um negativo à esquerda, igual a
. Isso caracteriza um hiperboloide de uma folha. O centro está em
, e o eixo da folha é paralelo ao eixo
(direção do termo negativo).
Passo 5
Para ajudar no esboço, considere seções planas:
- Seção em
: é uma elipse de semi-eixos (direção ) e (direção ). - Seção em
: é uma hipérbole em aberta ao longo de . - Seção em
: é uma hipérbole em aberta ao longo de .
Essas seções permitem esboçar o contorno elíptico no plano médio e as hipérboles de “estreitamento” quando
ou
estão fixos.
Resposta
A superfície
é um hiperboloide de uma folha de centro em
, com equação canônica
e eixo principal paralelo a
.