Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: 9 x^{2}-4 y^{2}+36 z^{2}-36 x-8 y-72 z+32=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrupla
S:\;9x^{2}-4y^{2}+36z^{2}-36x-8y-72z+32=0
e pede para identificá-la (tipo de quádrupla) e esboçá-la. Vamos completar quadrados em x, y e z para obter a forma canônica.

Passo 2

Agrupamos termos e completamos quadrados:
9\bigl(x^{2}-4x\bigr)\;-\;4\bigl(y^{2}+2y\bigr)\;+\;36\bigl(z^{2}-2z\bigr)\;+\;32=0.
Em cada grupo:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,\quad y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1,\quad z^{2}-2z=(z-1)^{2}-1.
Logo,
9\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)-4\bigl((y+1)^{2}-1\bigr) +36\bigl((z-1)^{2}-1\bigr)+32=0.

Passo 3

Desenvolvendo as constantes:
9(x-2)^{2}-36 \;-\;4(y+1)^{2}+4 \;+\;36(z-1)^{2}-36 \;+\;32=0
9(x-2)^{2}-4(y+1)^{2}+36(z-1)^{2}-36=0.
Dividindo tudo por 36:
\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(z-1)^{2}}{1}-\frac{(y+1)^{2}}{9}=1.

Passo 4

Da forma
\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(z-1)^{2}}{1}-\frac{(y+1)^{2}}{9}=1
vemos que há dois termos positivos e um negativo à esquerda, igual a 1. Isso caracteriza um hiperboloide de uma folha. O centro está em (2,-1,1), e o eixo da folha é paralelo ao eixo y (direção do termo negativo).

Passo 5

Para ajudar no esboço, considere seções planas:
  1. Seção em y=-1: \frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(z-1)^{2}}{1}=1é uma elipse de semi-eixos 2 (direção x) e 1 (direção z).
  2. Seção em x=2: \frac{(z-1)^{2}}{1}-\frac{(y+1)^{2}}{9}=1é uma hipérbole em (y,z) aberta ao longo de z.
  3. Seção em z=1: \frac{(x-2)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{9}=1é uma hipérbole em (x,y) aberta ao longo de x.
Essas seções permitem esboçar o contorno elíptico no plano médio e as hipérboles de “estreitamento” quando x ou z estão fixos.

Resposta

A superfície S é um hiperboloide de uma folha de centro em (2,-1,1), com equação canônica
\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(z-1)^{2}}{1}-\frac{(y+1)^{2}}{9}=1,
e eixo principal paralelo a y.

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