Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: x^{2}+y^{2}+z^{2}+8 x+4 y-6 z+13=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
\mathbf{S}: x^{2}+y^{2}+z^{2}+8x+4y-6z+13=0
e pede para identificá-la e esboçá-la. O tema é reconhecimento de quádricas, usando completamento de quadrados.

Passo 2

Vamos completar os quadrados em x, y e z:
x^{2}+8x = (x+4)^{2}-16,\quad y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4,\quad z^{2}-6z = (z-3)^{2}-9.
Substituindo na equação original:
(x+4)^{2}-16 \;+\;(y+2)^{2}-4 \;+\;(z-3)^{2}-9\;+\;13 \;=\;0.

Passo 3

Agrupando os termos constantes:
(x+4)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}\;-\;16\;-\;4\;-\;9\;+\;13\;=\;0 \;\Longrightarrow\; (x+4)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=16.
Isso mostra que \mathbf{S} é uma esfera de centro (-4,-2,3) e raio 4.

Passo 4

Para esboçar, marque o ponto C(-4,-2,3) como centro no espaço tridimensional e desenhe ao redor dele uma “bola” de raio 4. Nas projeções em quaisquer planos coordenados, essa esfera aparece como um círculo de raio 4.

Resposta

A superfície \mathbf{S} é uma esfera de centro (-4,-2,3) e raio 4.

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