1. ( 2,0 pontos) Seja A uma matriz antidiagonal, ou seja, uma matriz quadrada em que os elementos fora da sua diagonal secundária são iguais a zero, como ilustrado abaixo. Prove que |\operatorname{det}(A)|= a_{1 n} a_{2(n-1)} \ldots a_{(n-1) 2} a_{n 1}, ou seja, o valor absoluto do determinante de A é o produto dos elementos da sua diagonal secundária.
A=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{1 n} \\\\ 0 & 0 & \ldots & a_{2(n-1)} & 0 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\\\ 0 & a_{(n-1) 2} & \ldots & 0 & 0 \\\ a_{n 1} & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A cujo único elementos não nulos estão na diagonal secundária, ou seja,
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{1n}\\\\ 0 & 0 & \cdots & a_{2,n-1} & 0 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\\\ 0 & a_{n-1,2} & \cdots & 0 & 0 \\\ a_{n1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Queremos mostrar que o valor absoluto do determinante de A é o produto dos seus elementos da diagonal secundária, isto é,
\bigl|\det(A)\bigr| = a_{1n}\,a_{2,n-1}\,\cdots\,a_{n-1,2}\,a_{n1}.
Para isso, vamos usar a propriedade de determinante de produto de matrizes e reconhecer que A se escreve como o produto de uma matriz diagonal por uma matriz de permutação que vira a ordem das bases.

Passo 2

Definimos a matriz diagonal
D = \operatorname{diag}\bigl(a_{1n},\,a_{2,n-1},\,\dots,\,a_{n1}\bigr),
isto é,
D = \begin{pmatrix} a_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\\\ 0 & a_{2,n-1} & \cdots & 0 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & \cdots & a_{n1} \end{pmatrix}.
E definimos a matriz de permutação J que inverte a ordem dos vetores canônicos (chamada às vezes de “matriz antidiagonal de 1”):
J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}.
É fácil checar que
A = D\,J.

Passo 3

Usando a multiplicatividade do determinante, temos
\det(A) = \det(D)\,\det(J).
Sabemos que, para uma matriz diagonal, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Logo,
\det(D) = a_{1n}\,a_{2,n-1}\,\cdots\,a_{n1}.

Passo 4

Falta calcular \det(J). Mas J corresponde à permutação que reverte a ordem de n elementos, cuja paridade é dada pelo número de inversões
\#\text{inversões} \;=\; \frac{n(n-1)}2.õ
Assim,
\det(J) = (-1)^{\frac{n(n-1)}2}.

Passo 5

Juntando tudo,
\det(A) = \bigl(a_{1n}\,a_{2,n-1}\,\cdots\,a_{n1}\bigr)\;(-1)^{\frac{n(n-1)}2}.
Portanto, o valor absoluto do determinante é
\bigl|\det(A)\bigr| = \bigl|(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\bigr|\;\bigl(a_{1n}\,a_{2,n-1}\,\cdots\,a_{n1}\bigr) = a_{1n}\,a_{2,n-1}\,\cdots\,a_{n1}.

Resposta

\bigl|\det(A)\bigr| = a_{1n}\,a_{2,n-1}\,\cdots\,a_{n-1,2}\,a_{n1}.

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