Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}:(x-2)^{2}-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície definida por
S:\;(x-2)^{2}-2\,y=0.
Estamos no tema de superfícies quádricas em \mathbb{R}^{3} e vamos usar a análise da equação, observando quais variáveis aparecem e qual a forma resultante no plano coordenado.

Passo 2

Note que a variável z não aparece na equação de S. Isso indica que a superfície é obtida pela “extrusão” de uma curva no plano xy ao longo do eixo z. Em outras palavras, S é um cilindro cujo geratriz é paralela ao eixo z.

Passo 3

Projete S no plano xy: a equação fica
(x-2)^{2}-2\,y=0
que se rearranja para
y=\tfrac{1}{2}\,(x-2)^{2}.
Isto é, uma parábola com vértice em (2,0), abrindo para o lado de y positivo.

Passo 4

Uma parametrização natural é tomar um parâmetro t para a parábola e s para a direção do eixo z:
\mathbf{r}(t,s)=\bigl(t,\;\tfrac{1}{2}(t-2)^{2},\;s\bigr).
Para esboçar, desenhe primeiro no plano z=0 a parábola y=\tfrac{1}{2}(x-2)^{2} e depois “puxe” essa curva indefinidamente para cima e para baixo, criando um cilindro parabólico.

Resposta

A superfície S é um cilindro parabólico cujas seções transversais no plano xy são parábolas y=\tfrac{1}{2}(x-2)^{2}, estendendo-se indefinidamente ao longo do eixo z.

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