Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: 4 x^{2}-9(y-2)^{2}+4 z^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas
4x^{2}-9(y-2)^{2}+4z^{2}=0
e pede para identificá-la e esboçá-la. Vamos usar a classificação de cônicos em espaços 3D e estudar secções desta superfície.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, isolamos os termos positivos de um lado e o negativo do outro:
4x^{2}+4z^{2}=9(y-2)^{2}.
Dividindo ambos os lados por 9(y-2)^{2} (para y\neq2) obtém-se
\frac{x^{2}}{\bigl(\tfrac{3}{2}(y-2)\bigr)^{2}}+\frac{z^{2}}{\bigl(\tfrac{3}{2}(y-2)\bigr)^{2}}=1,
ou ainda
\frac{x^{2}+z^{2}}{( \tfrac{3}{2}(y-2) )^{2}}=1.

Passo 3

Note que a equação geral de um cone duplo centrado em (0,k,0) com eixo y é
\frac{x^{2}+z^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=0.
Aqui temos exatamente essa forma, com k=2 e razão de abertura
\frac{a}{b}=\frac{3/2}{1}= \tfrac{3}{2}.
Logo, \mathbf{S} é um cone de duas nappes (duplo) com vértice em (0,2,0) e eixo paralelo ao eixo y.

Passo 4

Para entender o formato:
  • Quando y=2, o lado direito 9(y-2)^2 anula, forçando x=0 e z=0. Isso mostra o vértice no ponto (0,2,0).
  • Para y>2 ou y<2, fixado um valor de y, a secção x z é um círculo de raio r=\frac{3}{2}\bigl|y-2\bigr|.
Isso gera duas nappes simétricas: uma se abre para y>2 e outra para y<2.

Passo 5

Esboço da superfície em um sistema de eixos (x,y,z):
  • O vértice está em (0,2,0).
  • O eixo do cone é paralelo ao eixo y.
  • Abertura: a seção em plano vertical (por exemplo z=0) dá duas retas que passam por (0,2) no plano x- y, com inclinação \pm \tfrac{3}{2}.
  • Rotacionando essas retas em torno do eixo y, obtemos o cone circular.

Resposta

A superfície \mathbf{S} é um cone duplo de vértice em (0,2,0), eixo paralelo a y e razão de abertura r/|y-2|=3/2.

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