Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádricas
e pede para identificá-la e esboçá-la. Vamos usar a classificação de cônicos em espaços 3D e estudar secções desta superfície.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão, isolamos os termos positivos de um lado e o negativo do outro:
Dividindo ambos os lados por
(para
) obtém-se
ou ainda
Passo 3
Note que a equação geral de um cone duplo centrado em
com eixo
é
Aqui temos exatamente essa forma, com
e razão de abertura
Logo,
é um cone de duas nappes (duplo) com vértice em
e eixo paralelo ao eixo
.
Passo 4
Para entender o formato:
- Quando
, o lado direito anula, forçando e . Isso mostra o vértice no ponto . - Para
ou , fixado um valor de , a secção – é um círculo de raio
Isso gera duas nappes simétricas: uma se abre para
e outra para
.
Passo 5
Esboço da superfície em um sistema de eixos
:
- O vértice está em
. - O eixo do cone é paralelo ao eixo
. - Abertura: a seção em plano vertical (por exemplo
) dá duas retas que passam por no plano - , com inclinação . - Rotacionando essas retas em torno do eixo
, obtemos o cone circular.
Resposta
A superfície
é um cone duplo de vértice em
, eixo paralelo a
e razão de abertura
.