Questão 3: Identifique e esboce cada uma das superfíceis.
\mathbf{S}: 16 x^{2}+9 y^{2}+4 z^{2}-144=0

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos e esboçarmos a superfície quádricas dada por
16x^{2}+9y^{2}+4z^{2}-144=0.
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas: vamos escrever em forma padrão e reconhecer o tipo de superfície.

Passo 2

Para pôr em forma padrão dividimos a equação por 144:
\frac{16x^{2}}{144}+\frac{9y^{2}}{144}+\frac{4z^{2}}{144}=1
ou seja
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{36}=1.

Passo 3

A equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
com a,b,c>0 define um elipsoide centrado na origem.
Aqui temos a^{2}=9\implies a=3, b^{2}=16\implies b=4 e c^{2}=36\implies c=6.

Passo 4

Os pontos em que a superfície intercepta os eixos coordenados são obtidos deixando duas variáveis zero de cada vez:
- Em y=z=0: x=\pm3.
- Em x=z=0: y=\pm4.
- Em x=y=0: z=\pm6.

Passo 5

O esboço é um elipsoide centrado em (0,0,0), mais “esticado” ao longo de z (semi-eixo =6) e mais “achatado” em x (semi-eixo =3). Nas seções planas temos elipses:
z =0 \Rightarrow \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1,
y =0 \Rightarrow \frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{36}=1,
x =0 \Rightarrow \frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{36}=1.

Resposta

A superfície é um elipsoide centrado na origem com semi-eixos a=3, b=4 e c=6.

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