Questão 2: Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva \mathbf{C} em torno do eixo indicado. Esboce a superfície.
\mathbf{C}:\left\{\begin{array}{c}9(x-1)^{2}+(z+2)^{2}=9 \\\ y-2=0\end{array}\right. eixo de revolução \mathbf{s}:\left\{\begin{array}{l}y-2=0 \\\ x-1=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathbf{C} no plano y=2, definida por
9(x-1)^{2}+(z+2)^{2}=9,
e o eixo de revolução \mathbf{s}, que é a reta
y-2=0,\quad x-1=0,
isto é, a reta paralela ao eixo z passando por (1,2,0). Vamos usar o fato de que, ao girar uma curva em torno de uma reta paralela a z, basta substituir a coordenada x-1 pela distância radial
r=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}},
mantendo z inalterado.

Passo 2

Como \mathbf{s} é paralela a z e fixa os pontos (1,2,z), qualquer ponto (x,y,z) da superfície obtida pela revolução satisfaz
\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}} = \bigl|x_{\rm original}-1\bigr|.
Na curva original, x_{\rm original}-1 aparece sempre ao quadrado, então basta fazer
(x-1)^{2}\;\longrightarrow\;(x-1)^{2}+(y-2)^{2}.

Passo 3

Na equação de \mathbf{C} substituímos (x-1)^{2} por (x-1)^{2}+(y-2)^{2}, obtendo
9\bigl[(x-1)^{2}+(y-2)^{2}\bigr]+(z+2)^{2}=9.

Passo 4

Podemos escrever essa relação em forma padrão de elipsoide dividindo ambos os lados por 9:
\frac{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}{1}+\frac{(z+2)^{2}}{9}=1.
Isso mostra que a superfície é um elipsoide centrado em (1,2,-2), com semi-eixo de raio 1 nos planos horizontais e semi-eixo 3 na direção z.

Passo 5

Para esboçar: o centro é (1,2,-2), os interceptos são
x=1\pm1,\quad y=2\pm1,\quad z=-2\pm3,
e a superfície é uma “bola achatada” nos horizontais, esticada em z.

Resposta

A equação da superfície de revolução é
9\bigl[(x-1)^{2}+(y-2)^{2}\bigr]+(z+2)^{2}=9,
ou, em forma padrão,
\frac{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}{1} + \frac{(z+2)^{2}}{9} = 1.
Esboço: elipsoide centrado em (1,2,-2) com raios 1,1,3 nas direções x, y e z, respectivamente.

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