Questão 1. Identifique as superfícies dadas pelas parametrizações abaixo, onde
((u, v) \in \mathbb{R}^{2}) e 0 \leq \theta \leq 2 \pi.
\vec{r}(u, v)=\left(u+v, u-v, u^{2}+v^{2}\right). Resposta: parabolóide z=\frac{x^{2}+y^{2}}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\vec r(u,v) = (\,u+v,\;u-v,\;u^2+v^2\,)
para (u,v)\in\mathbb{R}^2 e pede a superfície em coordenadas cartesianas. Vamos achar a equação F(x,y,z)=0 ou z=\dots eliminando u,v.

Passo 2

Defina
x = u+v, \quad y = u-v.
Invertendo essas relações, temos
u = \frac{x+y}{2}, \quad v = \frac{x-y}{2}.
Substituindo em z = u^2+v^2, segue
z = \Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{x-y}{2}\Bigr)^2 = \frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{4} = \frac{2x^2 + 2y^2}{4} = \frac{x^2 + y^2}{2}.

Passo 3

Chegamos à equação cartesiana
z = \frac{x^2 + y^2}{2},
que é um parabolóide circular.

Resposta

Parabolóide dado por
z = \frac{x^2 + y^2}{2}.

Exercícios relacionados