A. 275 (MAPOFEI-76) Resolver a inequação \left|x^{2}-4\right|<3 x.
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação \left|x^{2}-4\right|<3x, ou seja, encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-4.
O lado direito é 3x.
O símbolo |\cdot| é valor absoluto, que sempre produz um número não negativo.
A inequação é estrita (<), então casos de igualdade não pertencem à solução.
Não faço nenhuma resolução ainda; apenas identifiquei o que se pede e os dados que temos.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade importante sobre valor absoluto para usar corretamente: para quaisquer números reais A e B,
|A|<B
é possível somente se B>0, e nesse caso é equivalente ao sistema
-B < A < B.
Por quê? Porque |A| é sempre \ge 0; se B\le 0 não existe A tal que |A|<B. Se B>0, o valor absoluto limita A entre -B e B. Exemplo rápido e concreto: |t|<3 equivale a -3<t<3.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso problema com A = x^{2}-4 e B = 3x, primeiro exigimos
3x>0,
ou seja,
x>0.
Só com x>0 a desigualdade pode ter solução. Em seguida, sob essa condição, temos o sistema
-3x < x^{2}-4 < 3x.
Assim transformamos a inequação com valor absoluto em duas desigualdades simultâneas que devemos resolver.
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade da direita:
x^{2}-4 < 3x.
Passo a passo:
Coloco tudo no mesmo lado:
x^{2}-3x-4 < 0.
Factorizo o polinômio (ou uso fórmula quadrática). Procurando fatores, noto que -4\cdot 1=-4 e -4+1=-3, então
x^{2}-3x-4 = (x-4)(x+1).
Um produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos. As raízes são x=-1 e x=4. Como a parábola associada ao polinômio abre para cima, a expressão é negativa entre as raízes. Logo a solução dessa desigualdade é
-1 < x < 4.
Passo 5
Agora resolvo a desigualdade da esquerda:
-3x < x^{2}-4.
Coloco tudo num lado:
0 < x^{2}+3x-4,
ou equivalentemente
x^{2}+3x-4 > 0.
Factorizo:
x^{2}+3x-4 = (x+4)(x-1),
pois 4\cdot(-1)=-4 e 4+(-1)=3. As raízes são x=-4 e x=1. Como a parábola abre para cima, o polinômio é positivo fora do intervalo entre as raízes. Portanto a solução dessa desigualdade é
x < -4 \quad\text{ou}\quad x > 1.
Passo 6
Agora faço a interseção de todas as condições que surgiram:
Temos a condição inicial para o valor absoluto: x>0.
Da desigualdade da direita obtivemos: -1 < x < 4.
Da desigualdade da esquerda obtivemos: x < -4 ou x > 1.
Interseção passo a passo:
Interseção de -1<x<4 com x>0 dá 0<x<4.
Interseção desse resultado com x< -4 ou x>1 elimina a parte x<-4 (pois já exigimos x>0), restando a interseção de 0<x<4 com x>1, que é
1 < x < 4.
Verificações rápidas nos extremos: em x=1 temos |1-4|=3 e 3x=3 (igualdade — não serve porque é estrita); em x=4 temos |16-4|=12 e 3x=12 (igualdade — também excluída). Em x=0 o lado direito é 0 e |-4|=4 não satisfaz. Tudo consistente com 1<x<4.
Passo 7
Resumo intuitivo do método para usar na prova:
Sempre verifique se o lado direito do tipo |\cdot|<B é positivo; se não for, não há solução.
Transforme |A|<B em -B<A<B quando B>0.
Resolva as duas desigualdades resultantes separadamente (colocando tudo num lado, fatorando quadráticos, fazendo análise de sinais).
Interseccione com a condição B>0 e elimine possíveis pontos de igualdade quando a desigualdade for estrita.