Questão 1. Identifique as superfícies dadas pelas parametrizações abaixo, onde
((u, v) \in \mathbb{R}^{2}) e 0 \leq \theta \leq 2 \pi.
\vec{r}(u, v)=\left(u^{3}-1, v^{5}, 0\right). Resposta: plano z=0;

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\vec{r}(u,v) = \bigl(u^3 - 1,\;v^5,\;0\bigr)
com (u,v)\in\mathbb{R}^2. O objetivo é reconhecer qual superfície do espaço é descrita por essa imagem. Aqui o conteúdo é “superfícies parametrizadas” e basta verificar que relação os pontos (x,y,z) satisfazem.

Passo 2

Seja um ponto genérico da superfície dado por
x = u^3 - 1, \quad y = v^5, \quad z = 0.
Note que u^3 varre todos os reais quando u varia em \mathbb{R}, e o mesmo vale para v^5. Logo x pode ser qualquer real de forma que x+1 seja um cubo real, e y pode ser qualquer real como quinta‐raiz.

Passo 3

Como não há nenhuma outra restrição, a imagem é exatamente o conjunto de todos os pontos (x,y,z) tais que
z = 0.
Ou seja, a parametrização recobre todo o plano z=0.

Resposta

plano z=0

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