Questão 4

Imagine uma piscina totalmente cheia de água. Considere que mergulhamos completamente uma esfera de chumbo de volume V e massa igual a 50,0 \mathrm{~kg} dentro dessa piscina e, em decorrência disso, uma massa M de água transbordou da piscina. Nessas condições, e considerando que a aceleração da gravidade local tem módulo |\vec{g}|=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, é correto afirmar que o peso da água que transbordou é igual a 490 N ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Temos uma esfera de chumbo com massa 50{,}0\\ \mathrm{kg} e volume V.
  • A esfera é mergulhada totalmente numa piscina que estava cheia, e, por isso, uma massa M de água transbordou.
  • A aceleração da gravidade vale |\vec{g}|=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • A pergunta é: é correto afirmar que o peso da água que transbordou é igual a 490\\ \mathrm{N}? (ou seja, será que o peso dessa água é 490\\ \mathrm{N}?)

Passo 2

Princípio físico importante (explicação didática): quando um corpo é imerso em um fluido, o fluido exerce sobre ele uma força de empuxo para cima. O Princípio de Arquimedes diz que:
F_{\text{empuxo}} = \text{peso do fluido deslocado}.
Aqui, o peso do fluido deslocado é a massa do fluido deslocado multiplicada por g. Em símbolos:
F_{\text{empuxo}} = M g,
onde
  • F_{\text{empuxo}} é a força de empuxo (em newtons),
  • M é a massa da água que foi deslocada (em quilogramas) — que é exatamente a massa da água que transbordou neste problema,
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}).
Explicando em palavras: a água que saiu (massa M) foi precisamente o volume que a esfera ocupou; o peso dessa água transbordada é M g, e esse valor também é o empuxo que a água aplica sobre a esfera.

Passo 3

Relacionando com a esfera: a massa da esfera é m_{\text{esfera}}=50{,}0\\ \mathrm{kg}, então o peso da esfera é
P_{\text{esfera}}=m_{\text{esfera}}\,g = 50{,}0\cdot 10 = 500\\ \mathrm{N}.
Importante: só porque o peso da esfera é 500\\ \mathrm{N} não significa que o empuxo (ou o peso da água transbordada) seja igual a 500\\ \mathrm{N}. Só em uma situação de equilíbrio flutuante (quando o corpo flutua) o empuxo iguala exatamente o peso do corpo. Para objetos que afundam (como uma esfera de chumbo típica), o empuxo é menor que o peso do corpo.

Passo 4

Ligando massas, volumes e densidades (aula prática):
  • A massa de água deslocada é M = \rho_{\text{água}}\,Vá, porque a água deslocada tem o mesmo volume V da esfera.
  • A massa da esfera é m_{\text{esfera}}=\rho_{\text{esfera}}\,V.
    Dividindo:
\frac{M}{m_{\text{esfera}}}=\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{esfera}}}.á
Assim
M = \frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{esfera}}}\;m_{\text{esfera}}.á
Como a densidade do chumbo ( \rho_{\text{esfera}}) é muito maior que a densidade da água ( \rho_{\text{água}}á), o fator \rho_{\text{água}}/\rho_{\text{esfera}}á é bem menor que 1. Logo M\ll m_{\text{esfera}} e, consequentemente,
M g \ll m_{\text{esfera}} g = 500\\ \mathrm{N}.
Em palavras: para uma esfera de chumbo que afunda, a massa de água transbordada (e seu peso M g) é bem menor que 50{,}0\\ \mathrm{kg} (e bem menor que 500\\ \mathrm{N}).

Passo 5

Aplicando isso ao número 490\\ \mathrm{N}: 490\\ \mathrm{N} corresponderia a uma massa de água de 490/10=49\\ \mathrm{kg}. Para que isso ocorresse teríamos que ter
M = 49\\ \mathrm{kg}.
Mas, pelo item anterior, para uma esfera de chumbo (densidade muito maior que a da água) espera-se M muito menor que 50\\ \mathrm{kg}. Além disso, o enunciado não fornece V nem a densidade da esfera; portanto não há informação suficiente para afirmar que M=49\\ \mathrm{kg}. A única afirmação certa e geral é que o peso da água transbordada é M g, cujo valor numérico depende de V (ou da densidade da esfera), e não pode ser determinado como 490\\ \mathrm{N} apenas com a massa da esfera 50{,}0\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Exemplo numérico didático (para fixar): se aceitarmos a densidade típica do chumbo \rho_{\text{Pb}}\approx 11340\\ \mathrm{kg/m^{3}} e \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á, então
M = \frac{1000}{11340}\cdot 50{,}0 \approx 4{,}4\\ \mathrm{kg},
e o peso da água transbordada seria aproximadamente
M g \approx 4{,}4\cdot 10 = 44\\ \mathrm{N},
muito longe de 490\\ \mathrm{N}. Isso ilustra que, no caso real de chumbo, o peso transbordado é bem menor que 490\\ \mathrm{N}.

Resposta

Não. O peso da água transbordada é M g e depende do volume V (ou da razão entre as densidades); não há informação que faça M g=490\\ \mathrm{N}. Para uma esfera de chumbo (que afunda) o valor esperado é bem menor que 490\\ \mathrm{N}.

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