Considere a igualdade \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{2 m}+y^{2 n}}=1
onde m, n são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais: \square a. m+n=5 \square b. m-n=0 \square c. Não existem m e n tais que esta igualdade occore { }^{\mathbb{X}} \square d. m+n=9 \square e. m-n=-2 \square f. m+n=10 \square g. m-n=-5 \square h. m+n=6 \square i. \quad m-n=-1
onde m e n são números inteiros positivos. Preciso decidir quais das alternativas listadas são verdadeiras (podem ser uma ou mais). Informações relevantes que o enunciado fornece:
A expressão do numerador é x^{4}+(\operatorname{sen} y)^{6}.
A expressão do denominador é x^{2m}+y^{2n}.
O limite é tomado em (x,y)\to(0,0).
O valor do limite (se existir) é 1.
m e n são inteiros positivos (ou seja, m,n\in\mathbb{Z}_{>0}).
Não vou ainda resolver nem dizer a matéria; só enumerei os dados e o que se pede.
Passo 2
Vamos testar restrições necessárias olhando para trajetórias simples. Primeiro pegue a reta y=0. Substituindo y=0 na expressão obtemos
Ao fazermos (0,y)\to(0,0) (ou seja, y\to0), queremos que isso tenda a 1. Para estudar isso, use que \operatorname{sen} y\sim y quando y\to0 e, mais precisamente,
portanto (\operatorname{sen} y)^{6} tem a mesma ordem de grandeza que y^{6}. Assim, para que
\frac{(\operatorname{sen} y)^{6}}{y^{2n}}\to 1
é necessário que 2n=6, isto é
n=3.
Passo 4
Das trajetórias y=0 e x=0 concluímos que, se o limite existe e vale 1, necessariamente
m=2\quad\text{e}\quad n=3.
Isso mostra que qualquer par (m,n) diferente de (2,3) falhará em pelo menos uma dessas trajetórias e, portanto, não pode satisfazer a igualdade do enunciado. Logo (m,n)=(2,3) é a única possibilidade a ser verificada.
Passo 5
Agora precisamos verificar que, para m=2 e n=3, o limite realmente vale 1. Substitua m=2 e n=3 na expressão:
Isso mostra que para m=2,n=3 o limite existe e é igual a 1.
Passo 6
Resumo e unicidade: pelas trajetórias coordenadas provamos que m deve ser 2 e n deve ser 3; em seguida mostramos que esse par satisfaz a igualdade. Não existe outro par de inteiros positivos que funcione. Portanto as propriedades verdadeiras entre as opções são exatamente as que se seguem do par (m,n)=(2,3).