Questão 4

Incorreto
Vale 1,00 ponto(s).
Considere a igualdade
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{2 m}+y^{2 n}}=1
onde m, n são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
\square a. m+n=5
\square b. m-n=0
\square c. Não existem m e n tais que esta igualdade occore { }^{\mathbb{X}}
\square d. m+n=9
\square e. m-n=-2
\square f. m+n=10
\square g. m-n=-5
\square h. m+n=6
\square i. \quad m-n=-1

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{2m}+y^{2n}} = 1
onde m e n são números inteiros positivos. Preciso decidir quais das alternativas listadas são verdadeiras (podem ser uma ou mais). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão do numerador é x^{4}+(\operatorname{sen} y)^{6}.
  • A expressão do denominador é x^{2m}+y^{2n}.
  • O limite é tomado em (x,y)\to(0,0).
  • O valor do limite (se existir) é 1.
  • m e n são inteiros positivos (ou seja, m,n\in\mathbb{Z}_{>0}).
    Não vou ainda resolver nem dizer a matéria; só enumerei os dados e o que se pede.

Passo 2

Vamos testar restrições necessárias olhando para trajetórias simples. Primeiro pegue a reta y=0. Substituindo y=0 na expressão obtemos
\frac{x^{4}+(\operatorname{sen} 0)^{6}}{x^{2m}+0^{2n}}=\frac{x^{4}+0}{x^{2m}}=x^{4-2m}.
Ao fazermos (x,0)\to(0,0) (ou seja, x\to0), queremos que o valor dessa expressão tenda a 1, porque o limite total dado é 1. Para que
\lim_{x\to0} x^{4-2m}=1
é necessário que o expoente seja zero (se for positivo o limite é 0; se for negativo o limite diverge para +\infty). Logo precisamos de
4-2m=0 \quad\Rightarrow\quad m=2.

Passo 3

Agora pegue a reta x=0. Substituindo x=0 obtemos
\frac{0^{4}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{0^{2m}+y^{2n}}=\frac{(\operatorname{sen} y)^{6}}{y^{2n}}.
Ao fazermos (0,y)\to(0,0) (ou seja, y\to0), queremos que isso tenda a 1. Para estudar isso, use que \operatorname{sen} y\sim y quando y\to0 e, mais precisamente,
\lim_{y\to0}\frac{\operatorname{sen} y}{y}=1.
Elevando à sexta potência obtemos
\lim_{y\to0}\left(\frac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}=1,
portanto (\operatorname{sen} y)^{6} tem a mesma ordem de grandeza que y^{6}. Assim, para que
\frac{(\operatorname{sen} y)^{6}}{y^{2n}}\to 1
é necessário que 2n=6, isto é
n=3.

Passo 4

Das trajetórias y=0 e x=0 concluímos que, se o limite existe e vale 1, necessariamente
m=2\quad\text{e}\quad n=3.
Isso mostra que qualquer par (m,n) diferente de (2,3) falhará em pelo menos uma dessas trajetórias e, portanto, não pode satisfazer a igualdade do enunciado. Logo (m,n)=(2,3) é a única possibilidade a ser verificada.

Passo 5

Agora precisamos verificar que, para m=2 e n=3, o limite realmente vale 1. Substitua m=2 e n=3 na expressão:
\frac{x^{4}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{4}+y^{6}}.
Vamos mostrar que isso tende a 1 quando (x,y)\to(0,0). Escreva
\frac{x^{4}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{4}+y^{6}} = 1 + \frac{(\operatorname{sen} y)^{6}-y^{6}}{x^{4}+y^{6}}.
Para controlar a diferença note que
|(\operatorname{sen} y)^{6}-y^{6}| = y^{6}\left|\left(\frac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}-1\right|.
Então
\left|\frac{(\operatorname{sen} y)^{6}-y^{6}}{x^{4}+y^{6}}\right| = \frac{y^{6}}{x^{4}+y^{6}}\left|\left(\frac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}-1\right| \le \left|\left(\frac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}-1\right|,
porque \dfrac{y^{6}}{x^{4}+y^{6}}\le 1. Mas sabemos que
\lim_{y\to0}\left(\frac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}=1,
portanto o módulo à direita tende a 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(\operatorname{sen} y)^{6}-y^{6}}{x^{4}+y^{6}}=0,
e consequentemente
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{4}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{4}+y^{6}}=1.
Isso mostra que para m=2,n=3 o limite existe e é igual a 1.

Passo 6

Resumo e unicidade: pelas trajetórias coordenadas provamos que m deve ser 2 e n deve ser 3; em seguida mostramos que esse par satisfaz a igualdade. Não existe outro par de inteiros positivos que funcione. Portanto as propriedades verdadeiras entre as opções são exatamente as que se seguem do par (m,n)=(2,3).

Resposta

a
i

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