Questão 5

Parcialmente correto
Vale 1,00 ponto(s).

Considere a igualdade

\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{10}+(\operatorname{sen} y)^{14}}{x^{2 m}+y^{2 n}}=1
onde m, n são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
\square a. m+n=10
\square b. m+n=7
\square c. m+n=12^{\checkmark}
\square d. m-n=-2
\square e. m-n=-5
\square f. \quad m-n=-1
\square g. m+n=9
\square h. Não existem m e n tais que esta igualdade occore
\square i. m-n=1

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{10}+(\operatorname{sen} y)^{14}}{x^{2m}+y^{2n}}=1,
onde m e n são inteiros positivos. O que se pede é identificar quais das alternativas listadas (valores ou relações envolvendo m e n) são corretas. Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é x^{10}+(\operatorname{sen} y)^{14}.
  • O denominador é x^{2m}+y^{2n}.
  • O limite considerado é quando (x,y) tende a (0,0).
  • m e n são inteiros positivos.

Passo 2

Estratégia inicial (não resolvo ainda, só exploro casos simples): analisar o comportamento do quociente ao aproximar por caminhos simples — em particular pelas linhas coordenadas y=0 e x=0. Isso é útil porque se o limite existe e vale 1, então o limite ao longo de qualquer caminho, inclusive essas linhas, deve ser 1.

Passo 3

Analisar o caminho y=0. Substituindo y=0 no quociente obtemos
\frac{x^{10}+(\operatorname{sen} 0)^{14}}{x^{2m}+0^{2n}}=\frac{x^{10}+0}{x^{2m}}=\frac{x^{10}}{x^{2m}}=x^{10-2m}.
Para que
\lim_{x\to 0} x^{10-2m}=1
é necessário que a potência seja zero; caso contrário o limite seria 0 (se expoente positivo) ou \infty (se expoente negativo) — nenhum desses é 1. Logo devemos ter
10-2m=0\quad\Rightarrow\quad m=5.

Passo 4

Analisar o caminho x=0. Substituindo x=0 no quociente obtemos, e usando \operatorname{sen} 0=0,
\frac{0^{10}+(\operatorname{sen} y)^{14}}{0^{2m}+y^{2n}}=\frac{(\operatorname{sen} y)^{14}}{y^{2n}}.
Para que
\lim_{y\to 0}\frac{(\operatorname{sen} y)^{14}}{y^{2n}}=1
seja possível, a potência de y no numerador aproximado deve coincidir com a do denominador. Sabemos que \operatorname{sen} y é equivalente a y quando y\to0 (mais formal: \lim_{y\to0}\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}=1), então (\operatorname{sen} y)^{14} tem ordem y^{14}. Assim precisamos de
14-2n=0\quad\Rightarrow\quad n=7.

Passo 5

Com m=5 e n=7 obtivemos as condições necessárias a partir das análises pelas coordenadas. Então o candidato é (m,n)=(5,7). Agora preciso verificar que, com esses valores, o limite realmente existe e vale 1 para qualquer caminho, não só para as coordenadas.

Passo 6

Lembrar um fato-chave sobre \operatorname{sen} y: existe o limite
\lim_{y\to0}\frac{\operatorname{sen} y}{y}=1.
Explicação curta e intuitiva: pela série de Taylor \operatorname{sen} y = y - \tfrac{y^3}{6}+\cdots, dividindo por y e passando y\to0 sobra 1. Esse é um resultado padrão e será usado abaixo. Assim
\lim_{y\to0}\left(\frac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{14}=1.

Passo 7

Substituindo m=5 e n=7 no quociente, reescrevo-o como
\frac{x^{10}+(\operatorname{sen} y)^{14}}{x^{10}+y^{14}}.
Fatorando y^{14} no segundo termo do numerador, posso escrever
\frac{x^{10}+(\operatorname{sen} y)^{14}}{x^{10}+y^{14}} = \frac{x^{10}+y^{14}\left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{14}}{x^{10}+y^{14}} =1+\frac{y^{14}\left[\left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{14}-1\right]}{x^{10}+y^{14}}.

Passo 8

Analisar o termo extra
T(x,y):=\frac{y^{14}\left[\left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{14}-1\right]}{x^{10}+y^{14}}.
Primeiro, \left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{14}-1\to 0 quando y\to0. Além disso, para todos (x,y),
0\le\frac{y^{14}}{x^{10}+y^{14}}\le 1,
pois o denominador é soma de termos não negativos. Assim o fator \dfrac{y^{14}}{x^{10}+y^{14}} é limitado por 1. Portanto o produto T(x,y) tende a 0 quando (x,y)\to(0,0), porque é um termo limitado multiplicado por algo que tende a 0.

Passo 9

Como T(x,y)\to0, da expressão do Passo 7 segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{10}+(\operatorname{sen} y)^{14}}{x^{10}+y^{14}}=1+0=1.
Portanto com m=5 e n=7 o limite existe e vale exatamente 1.

Passo 10

Conclusão sobre as alternativas: dos cálculos encontramos (m,n)=(5,7). Assim as relações verdadeiras entre m e n são:
m+n=5+7=12
e
m-n=5-7=-2.
Nenhuma outra igualdade listada é satisfeita por esses valores, e existe de fato um par (m,n) que faz a igualdade do enunciado acontecer (logo a alternativa que afirma que não existem tais m,n é falsa).

Resposta

c. m+n=12
d. m-n=-2

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