Questão 5
Parcialmente correto
Vale 1,00 ponto(s).
Considere a igualdade
onde
são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h. Não existem
e
tais que esta igualdade occore
i.
Vale 1,00 ponto(s).
onde
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
onde
e
são inteiros positivos. O que se pede é identificar quais das alternativas listadas (valores ou relações envolvendo
e
) são corretas. Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O limite considerado é quando
tende a . -
e são inteiros positivos.
Passo 2
Estratégia inicial (não resolvo ainda, só exploro casos simples): analisar o comportamento do quociente ao aproximar por caminhos simples — em particular pelas linhas coordenadas
e
. Isso é útil porque se o limite existe e vale
, então o limite ao longo de qualquer caminho, inclusive essas linhas, deve ser
.
Passo 3
Analisar o caminho
. Substituindo
no quociente obtemos
Para que
é necessário que a potência seja zero; caso contrário o limite seria
(se expoente positivo) ou
(se expoente negativo) — nenhum desses é
. Logo devemos ter
Passo 4
Analisar o caminho
. Substituindo
no quociente obtemos, e usando
,
Para que
seja possível, a potência de
no numerador aproximado deve coincidir com a do denominador. Sabemos que
é equivalente a
quando
(mais formal:
), então
tem ordem
. Assim precisamos de
Passo 5
Com
e
obtivemos as condições necessárias a partir das análises pelas coordenadas. Então o candidato é
. Agora preciso verificar que, com esses valores, o limite realmente existe e vale
para qualquer caminho, não só para as coordenadas.
Passo 6
Lembrar um fato-chave sobre
: existe o limite
Explicação curta e intuitiva: pela série de Taylor
, dividindo por
e passando
sobra
. Esse é um resultado padrão e será usado abaixo. Assim
Passo 7
Substituindo
e
no quociente, reescrevo-o como
Fatorando
no segundo termo do numerador, posso escrever
Passo 8
Analisar o termo extra
Primeiro,
quando
. Além disso, para todos
,
pois o denominador é soma de termos não negativos. Assim o fator
é limitado por
. Portanto o produto
tende a
quando
, porque é um termo limitado multiplicado por algo que tende a
.
Passo 9
Como
, da expressão do Passo 7 segue que
Portanto com
e
o limite existe e vale exatamente
.
Passo 10
Conclusão sobre as alternativas: dos cálculos encontramos
. Assim as relações verdadeiras entre
e
são:
e
Nenhuma outra igualdade listada é satisfeita por esses valores, e existe de fato um par
que faz a igualdade do enunciado acontecer (logo a alternativa que afirma que não existem tais
é falsa).
Resposta
c.
d.
d.