Questão 6
Correto
Vale 1,00 ponto(s).
Considere a igualdade
onde
são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
a.
b. Não existem
e
tais que esta igualdade occore
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Vale 1,00 ponto(s).
onde
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
onde
e
são números inteiros positivos. Preciso decidir quais das alternativas listadas são corretas (uma ou mais). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função considerada é
. - O limite pedido é quando
e o valor desse limite deve ser . -
(inteiros positivos).
As alternativas (a)–(i) relacioname por somas ou diferenças; minha tarefa é verificar quais, se houver, são verdadeiras dadas as informações.
Passo 2
Lembrete importante (ferramenta que vou usar): para que um limite de função de duas variáveis exista e valha um número
, o limite ao longo de qualquer caminho que leve ao ponto deve ser
. Ou seja, se eu encontrar um caminho para
cujo limite seja diferente de
(ou não exista), então a igualdade dada não pode ser verdadeira para esses
.
Passo 3
Escolho o caminho
. Ao longo desse caminho,
, então a expressão fica
Simplificando,
Passo 4
Agora analiso o comportamento de
quando
, lembrando que
é inteiro positivo (
).
- Se
então e , que diverge em magnitude quando (tende a ou dependendo do lado). - Se
então (um inteiro negativo), e também diverge em magnitude quando .
Em todos os casostemos que não tende para quando ; na verdade tende para infinito em módulo ou não tem limite finito. Portanto ao longo da reta o limite não é para nenhum .
Passo 5
Pelo argumento do passo anterior: se existisse algum par
inteiros positivos tal que o limite bidimensional valesse
, então o limite ao longo de qualquer caminho também teria que ser
. Como pelo caminho
o limite é
que não tende a
para nenhum inteiro
, concluímos que não existem
que satisfaçam a igualdade dada.
Passo 6
Comentários adicionais rápidos para confirmar a consistência: tomando o caminho
obtemos
Como
quando
, isso se comporta como
, e para obter limite
precisaríamos de
, i.e.
, que não é inteiro. Isso reforça que não há
compatível. Portanto a conclusão do passo anterior é robusta.
Resposta
b. Não existem
e
tais que esta igualdade ocorra.