Questão 6

Correto
Vale 1,00 ponto(s).

Considere a igualdade

\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x+(\operatorname{sen} y)^{5}}{x^{2 m}+y^{2 n}}=1
onde m, n são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
\square a. m+n=2
\square b. Não existem m e n tais que esta igualdade occore
\square c. m+n=1
\square d. m-n=-1
\square e. m-n=1
\square f. m+n=6
\square g. m-n=-2
\square h. m-n=-3
\square i. m+n=3

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+(\sin y)^5}{x^{2m}+y^{2n}} = 1,
onde m e n são números inteiros positivos. Preciso decidir quais das alternativas listadas são corretas (uma ou mais). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função considerada é F(x,y)=\dfrac{x+(\sin y)^5}{x^{2m}+y^{2n}}.
  • O limite pedido é quando (x,y)\to(0,0) e o valor desse limite deve ser 1.
  • m,n\in\mathbb{Z}_{>0} (inteiros positivos).
    As alternativas (a)–(i) relacionam m e n por somas ou diferenças; minha tarefa é verificar quais, se houver, são verdadeiras dadas as informações.

Passo 2

Lembrete importante (ferramenta que vou usar): para que um limite de função de duas variáveis exista e valha um número L, o limite ao longo de qualquer caminho que leve ao ponto deve ser L. Ou seja, se eu encontrar um caminho para (0,0) cujo limite seja diferente de 1 (ou não exista), então a igualdade dada não pode ser verdadeira para esses m,n.

Passo 3

Escolho o caminho y=0. Ao longo desse caminho, \sin y=0, então a expressão fica
\frac{x+(\sin 0)^5}{x^{2m}+0^{2n}}=\frac{x}{x^{2m}}.
Simplificando,
\frac{x}{x^{2m}} = x^{\,1-2m}.

Passo 4

Agora analiso o comportamento de x^{\,1-2m} quando x\to0, lembrando que m é inteiro positivo ( m\ge1).
  • Se m=1 então 1-2m= -1 e x^{\,1-2m}=x^{-1}=\dfrac{1}{x}, que diverge em magnitude quando x\to0 (tende a +\infty ou -\infty dependendo do lado).
  • Se m\ge2 então 1-2m\le -3 (um inteiro negativo), e x^{\,1-2m}=\dfrac{1}{x^{2m-1}} também diverge em magnitude quando x\to0.
    Em todos os casos m\in\mathbb{Z}_{>0} temos que x^{\,1-2m} não tende para 1 quando x\to0; na verdade tende para infinito em módulo ou não tem limite finito. Portanto ao longo da reta y=0 o limite não é 1 para nenhum m\in\mathbb{Z}_{>0}.

Passo 5

Pelo argumento do passo anterior: se existisse algum par (m,n) inteiros positivos tal que o limite bidimensional valesse 1, então o limite ao longo de qualquer caminho também teria que ser 1. Como pelo caminho y=0 o limite é x^{\,1-2m} que não tende a 1 para nenhum inteiro m\ge1, concluímos que não existem m,n\in\mathbb{Z}_{>0} que satisfaçam a igualdade dada.

Passo 6

Comentários adicionais rápidos para confirmar a consistência: tomando o caminho x=0 obtemos
\frac{0+(\sin y)^5}{0+y^{2n}}=\frac{(\sin y)^5}{y^{2n}}.
Como \sin y\sim y quando y\to0, isso se comporta como y^{5-2n}, e para obter limite 1 precisaríamos de 5-2n=0, i.e. n=\tfrac{5}{2}, que não é inteiro. Isso reforça que não há n\in\mathbb{Z}_{>0} compatível. Portanto a conclusão do passo anterior é robusta.

Resposta

b. Não existem m e n tais que esta igualdade ocorra.

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