Questão 3
Parcialmente correto
Vale 1,00 ponto(s).
Considere os planos
e
dados respectivamente por:
.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
a. se
então
e
se interceptam pela reta
e
b. se
então os planos
e
necessariamente se interceptam por uma reta
c. dependendo do valor de
, os planos
e
poderíam se coincidir
d. independente do valor de
, os planos
e
não se interceptam em um único ponto
e. independente do valor de
, o cosseno do ângulo (agudo) entre os planos
e
é
f. independente do valor de
, os planos
e
sempre tem interseção não nula
Vale 1,00 ponto(s).
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Passo 1
O enunciado dá dois planos
e pede que marcamos quais das alternativas (a)–(f) são corretas.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- As equações dos dois planos acima (dependem do parâmetro real
). - Devemos decidir, para cada afirmativa, se ela é verdadeira para todos os
ou apenas para alguns valores de .
Não começo a resolver ainda; só listei o que o problema dá e o que pede.
Passo 2
Vou obter os vetores normais aos planos porque muitas propriedades (paralelismo, coincidência, ângulo, interseção) são analisadas via normais.
O vetor normal de é
O vetor normal de
e o vetor normal de
é
Esses vetores aparecem diretamente dos coeficientes de
em cada equação. Vou usar esses vetores para estudar paralelismo, coincidência e ângulo entre planos.
Passo 3
Estudo do item (a): "se
então
e
se interceptam pela reta
e
".
Para achar a interseção dos dois planos, somamos as equações :
Para achar a interseção dos dois planos, somamos as equações
No lado esquerdo ocorre cancelamento em
e
; no direito fica zero. Assim
Se
então necessariamente
. Substituindo
na equação de
obtemos
Portanto a interseção é a reta dada por
e por todos os pares
que satisfazem
. Parametrizando por
com
temos
. Logo a descrição dada em (a) é correta para
. Conclusão: (a) é verdadeira.
Passo 4
Estudo do item (c): “dependendo do valor de
, os planos
e
poderiam se coincidir”.
Do ponto de vista de normais, planos coincidem se seus vetores normais são proporcionais e os termos constantes também satisfazem a mesma proporcionalidade (mesmo múltiplo entre os dois lados da equação). Buscamos tal que
. Das componentes temos as igualdades
Do ponto de vista de normais, planos coincidem se seus vetores normais são proporcionais e os termos constantes também satisfazem a mesma proporcionalidade (mesmo múltiplo entre os dois lados da equação). Buscamos
Das duas últimas igualdades segue
. Substituindo em
dá
, isto é
. Para
temos explicitamente
e
é exatamente
vezes a equação de
, logo as duas representam a mesma equação e coincidem. Portanto existe um valor de
(especificamente
) tal que os planos coincidem. Conclusão: (c) é verdadeira.
Passo 5
Estudo do item (b): “se
então
e
necessariamente se interceptam por uma reta”.
Já vimos no Passo 3 que, ao somar as equações, obtemos . Isso implica que:
Já vimos no Passo 3 que, ao somar as equações, obtemos
- se
então e a interseção é uma reta (como no Passo 3); - se
então, como vimos no Passo 4, os planos coincidem (então a interseção é a própria superfície do plano, não vazia).
Portanto a condição para que não haja interseção em reta seria a de planos paralelos distintos — mas aqui os vetores normais só são paralelos quando, caso em que eles não são planos distintos, mas coincidem. Logo para todo os planos têm interseção não vazia: ou reta (se ) ou o mesmo plano (se ). A desigualdade não é relevante para garantir interseção em reta, porque o que importa é apenas se é zero ou não. Conclusão: (b) é falsa.
Passo 6
Estudo do item (d): “independente do valor de
, os planos
e
não se interceptam em um único ponto”.
Razão: a interseção de dois planos em pode ser vazia (planos paralelos distintos), uma reta (planos não paralelos) ou todo o plano (coincidência). Nunca pode ser um único ponto, porque duas equações lineares independentes em três incógnitas deixam sempre pelo menos uma liberdade (espaço afim de dimensão
) quando são compatíveis. No nosso caso já vimos que não há a situação de paralelismo distinto (não existe
que faça isso), então só temos reta ou coincidência — em nenhum caso surge um ponto isolado. Conclusão: (d) é verdadeira.
Razão: a interseção de dois planos em
Passo 7
Estudo do item (e): "independente do valor de
, o cosseno do ângulo (agudo) entre os planos
e
é
".
O cosseno do ângulo entre os planos é o cosseno do ângulo entre seus vetores normais. Usamos a fórmula do produto interno:
O cosseno do ângulo
Calculo o produto interno:
As normas são iguais:
Logo
Isto é verdade como fórmula do produto interno. Porém atenção: o enunciado pede o cosseno do ângulo agudo entre os planos. O ângulo agudo tem
, logo seu cosseno deve ser não negativo; a fórmula direta acima pode ser negativa quando
. Para obter o cosseno do ângulo agudo devemos tomar o valor absoluto:
Portanto a expressão dada em (e) sem o módulo está incompleta/errada quando
. Conclusão: (e) é falsa.
Passo 8
Estudo do item (f): “independente do valor de
, os planos
e
sempre têm interseção não nula”.
Do que já analisamos: se temos interseção em reta; se
os planos coincidem (interseção é o próprio plano). Em ambos os casos a interseção é não vazia. Não existe valor de
que gere interseção vazia. Conclusão: (f) é verdadeira.
Do que já analisamos: se
Resposta
a
c
d
f
c
d
f