Questão 3

Parcialmente correto
Vale 1,00 ponto(s).
Considere os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} dados respectivamente por:
\Pi_{1}: \quad a x+10 y+z=2, \quad \Pi_{2}: \quad a x-10 y-z=-2.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
\square a. se a \neq 0 então \prod_{1} e \prod_{2} se interceptam pela reta x=0, y=t e 10 t+z=2
\square b. se a^{2}<101 então os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} necessariamente se interceptam por uma reta
\square c. dependendo do valor de a, os planos \prod_{1} e \prod_{2} poderíam se coincidir
\square d. independente do valor de a, os planos \prod_{1} e \prod_{2} não se interceptam em um único ponto
\square e. independente do valor de a, o cosseno do ângulo (agudo) entre os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} é \left(a^{2}-101\right) /\left(a^{2}+101\right)
\square f. independente do valor de a, os planos \prod_{1} e \prod_{2} sempre tem interseção não nula

Passo 1

O enunciado dá dois planos
\Pi_{1}: \quad a x+10 y+z=2,\qquad \Pi_{2}: \quad a x-10 y-z=-2
e pede que marcamos quais das alternativas (a)–(f) são corretas.
Informações relevantes fornecidas:
  • As equações dos dois planos acima (dependem do parâmetro real a).
  • Devemos decidir, para cada afirmativa, se ela é verdadeira para todos os a ou apenas para alguns valores de a.
    Não começo a resolver ainda; só listei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Vou obter os vetores normais aos planos porque muitas propriedades (paralelismo, coincidência, ângulo, interseção) são analisadas via normais.
O vetor normal de \Pi_{1} é
n_1 = (a,\,10,\,1),
e o vetor normal de \Pi_{2} é
n_2 = (a,\,-10,\,-1).
Esses vetores aparecem diretamente dos coeficientes de x,y,z em cada equação. Vou usar esses vetores para estudar paralelismo, coincidência e ângulo entre planos.

Passo 3

Estudo do item (a): "se a\neq 0 então \Pi_1 e \Pi_2 se interceptam pela reta x=0,\;y=t e 10t+z=2".
Para achar a interseção dos dois planos, somamos as equações \Pi_1+\Pi_2:
(a x+10 y+z)+(a x-10 y-z)=2+(-2).
No lado esquerdo ocorre cancelamento em y e z; no direito fica zero. Assim
2a x = 0.
Se a\neq 0 então necessariamente x=0. Substituindo x=0 na equação de \Pi_1 obtemos
10y+z=2.
Portanto a interseção é a reta dada por x=0 e por todos os pares (y,z) que satisfazem 10y+z=2. Parametrizando por t com y=t temos z=2-10t. Logo a descrição dada em (a) é correta para a\neq 0. Conclusão: (a) é verdadeira.

Passo 4

Estudo do item (c): “dependendo do valor de a, os planos \Pi_1 e \Pi_2 poderiam se coincidir”.
Do ponto de vista de normais, planos coincidem se seus vetores normais são proporcionais e os termos constantes também satisfazem a mesma proporcionalidade (mesmo múltiplo entre os dois lados da equação). Buscamos \lambda tal que n_2=\lambda n_1. Das componentes temos as igualdades
a = \lambda a,\quad -10=\lambda\cdot 10,\quad -1=\lambda\cdot 1.
Das duas últimas igualdades segue \lambda=-1. Substituindo em a=\lambda a a=-a, isto é a=0. Para a=0 temos explicitamente
\Pi_{1}: 10y+z=2,\qquad \Pi_{2}: -10y-z=-2,
e \Pi_2 é exatamente -1 vezes a equação de \Pi_1, logo as duas representam a mesma equação e coincidem. Portanto existe um valor de a (especificamente a=0) tal que os planos coincidem. Conclusão: (c) é verdadeira.

Passo 5

Estudo do item (b): “se a^{2}<101 então \Pi_1 e \Pi_2 necessariamente se interceptam por uma reta”.
Já vimos no Passo 3 que, ao somar as equações, obtemos 2a x=0. Isso implica que:
  • se a\neq 0 então x=0 e a interseção é uma reta (como no Passo 3);
  • se a=0 então, como vimos no Passo 4, os planos coincidem (então a interseção é a própria superfície do plano, não vazia).
    Portanto a condição para que não haja interseção em reta seria a de planos paralelos distintos — mas aqui os vetores normais só são paralelos quando a=0, caso em que eles não são planos distintos, mas coincidem. Logo para todo a os planos têm interseção não vazia: ou reta (se a\neq 0) ou o mesmo plano (se a=0). A desigualdade a^{2}<101 não é relevante para garantir interseção em reta, porque o que importa é apenas se a é zero ou não. Conclusão: (b) é falsa.

Passo 6

Estudo do item (d): “independente do valor de a, os planos \Pi_1 e \Pi_2 não se interceptam em um único ponto”.
Razão: a interseção de dois planos em \mathbb{R}^3 pode ser vazia (planos paralelos distintos), uma reta (planos não paralelos) ou todo o plano (coincidência). Nunca pode ser um único ponto, porque duas equações lineares independentes em três incógnitas deixam sempre pelo menos uma liberdade (espaço afim de dimensão \ge 1) quando são compatíveis. No nosso caso já vimos que não há a situação de paralelismo distinto (não existe a que faça isso), então só temos reta ou coincidência — em nenhum caso surge um ponto isolado. Conclusão: (d) é verdadeira.

Passo 7

Estudo do item (e): "independente do valor de a, o cosseno do ângulo (agudo) entre os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} é \left(a^{2}-101\right) /\left(a^{2}+101\right)".
O cosseno do ângulo \theta entre os planos é o cosseno do ângulo entre seus vetores normais. Usamos a fórmula do produto interno:
\cos\theta = \frac{n_1\cdot n_2}{\|n_1\|\,\|n_2\|}.
Calculo o produto interno:
n_1\cdot n_2 = a\cdot a + 10\cdot(-10) + 1\cdot(-1) = a^{2}-100-1 = a^{2}-101.
As normas são iguais:
\|n_1\|=\sqrt{a^{2}+10^{2}+1^{2}}=\sqrt{a^{2}+101},\qquad \|n_2\|=\sqrt{a^{2}+101}.
Logo
\cos\theta=\frac{a^{2}-101}{a^{2}+101}.
Isto é verdade como fórmula do produto interno. Porém atenção: o enunciado pede o cosseno do ângulo agudo entre os planos. O ângulo agudo tem \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], logo seu cosseno deve ser não negativo; a fórmula direta acima pode ser negativa quando a^{2}<101. Para obter o cosseno do ângulo agudo devemos tomar o valor absoluto:
\cos(\theta_{\text{agudo}})=\frac{|a^{2}-101|}{a^{2}+101}.
Portanto a expressão dada em (e) sem o módulo está incompleta/errada quando a^{2}<101. Conclusão: (e) é falsa.

Passo 8

Estudo do item (f): “independente do valor de a, os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} sempre têm interseção não nula”.
Do que já analisamos: se a\neq 0 temos interseção em reta; se a=0 os planos coincidem (interseção é o próprio plano). Em ambos os casos a interseção é não vazia. Não existe valor de a que gere interseção vazia. Conclusão: (f) é verdadeira.

Resposta

a
c
d
f

Exercícios relacionados