Questão 1. Indique o tipo de indeterminação ( 0 / 0 ou infty / infty ) e utilize a Regra de L’Hôpital para calcular o seguinte limite:
lim x +infty(1-2x^2)^x^2. Lembre-se de que (1-2x^2)^x^2=exp (x^2 ln (1-2x^2)).
(3.5 pontos)
Observação: Não se esqueça de usar a Regra da Cadeia para derivar ln (1-(2 / x^2)). Note que Dx[ln (u(x))]=(1 / u(x)) cdot u^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto+inftyl(1-2/x^2r)^x^2. O conteúdo principal é limite de tipo exponencial 1^infty, resolvido via transformação em exponencial e aplicação da Regra de L’Hôpital na forma x^2ln(1-2/x^2). Para isso, vamos usar a regra da cadeia na derivação de ln(1-2/x^2).

Passo 2

Reescrevemos a expressão como
L=limxto+inftyx^2lnl(1-tfrac2x^2r),
e observamos que, ao escrever
L=limxto+inftyln(1-2/x^2)1/x^2,
tanto o numerador ln(1-2/x^2) quanto o denominador 1/x^2 tendem a zero quando xto+infty, configurando uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando numerador e denominador:
  • Para o numerador, seja u(x)=1-2/x^2. Então
ddxl[ln(u(x))r]=u'(x)u(x), u'(x)=ddxl(1-2/x^2r)=4/x^3
Logo,
ddxl[ln(1-2/x^2)r]=4x^3l(1-2/x^2r)
  • Para o denominador,
ddxl[1/x^2r]=-2/x^3

Passo 4

Agora o limite de L vira o limite do quociente das derivadas:
L=limxto+infty4/(x^3(1-2/x^2))-2/x^3 =limxto+infty41-2/x^2cdotx^3-2x^3 =limxto+infty-21-2/x^2
Quando xto+infty, 1-2/x^2to1, logo o limite é L=-2.

Passo 5

Por fim, voltamos à forma original:
limxto+inftyl(1-2/x^2r)^x^2=expl(Lr)=e^-2

Resposta

e^-2

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