Questão 3. (Indução - potência de 2) Prove, por indução, que para todo n \in \mathbb{N} tem-se
2^{n} \geq n+1 .

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução, que
2^n \ge n + 1
para todo n \in \mathbb{N}. Vamos usar o princípio da indução finita, que envolve dois passos: o caso base e o passo indutivo (hipótese e demonstração do próximo caso).

Passo 2

Caso base n=1:
2^1 = 2
e
1 + 1 = 2
Logo, 2^1 = 2 \ge 2 = 1+1. Assim, a desigualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\in\mathbb{N} valha
2^k \ge k + 1.
Objetivo: provar que
2^{k+1} \ge (k+1) + 1 = k + 2.

Passo 4

Começando pelo lado esquerdo:
2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \ge 2(k+1) = 2k + 2,
onde usamos a hipótese 2^k \ge k+1. Em seguida,
2k + 2 = k + 2 + k \ge k + 2
(pois k \ge 1). Combinando as desigualdades, obtemos
2^{k+1} \ge k + 2,
o que completa o passo indutivo.

Resposta

A desigualdade
2^n \ge n + 1
é verdadeira para todo n \in \mathbb{N} por princípio da indução.

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