Questão 3. (Indução - potência de 2) Prove, por indução, que para todo
tem-se
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução, que
para todo
. Vamos usar o princípio da indução finita, que envolve dois passos: o caso base e o passo indutivo (hipótese e demonstração do próximo caso).
Passo 2
Caso base
:
e
Logo,
. Assim, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Objetivo: provar que
Passo 4
Começando pelo lado esquerdo:
onde usamos a hipótese
. Em seguida,
(pois
). Combinando as desigualdades, obtemos
o que completa o passo indutivo.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo
por princípio da indução.