Questão 1. (Axiomas de Peano) Liste os axiomas de Peano que caracterizam o conjunto dos números naturais. Em seguida, explique com suas palavras a importância do axioma do princípio da indução matemática.
Passo 1
O enunciado pede para listar os axiomas de Peano que caracterizam o conjunto dos números naturais e depois explicar, com nossas próprias palavras, por que o axioma do princípio da indução matemática é tão importante. O assunto envolve a definição axiomática de
e o uso da indução para demonstrar propriedades que valem para todos os naturais.
Passo 2
Os cinco axiomas de Peano são:
- Existe um elemento denominado zero, isto é,
- Cada número natural tem um sucessor, ou seja, existe uma função
tal que para todo, também pertence a . - Zero não é o sucessor de nenhum natural:
- A função sucessor é injetora:
- (Princípio da Indução) Se um subconjunto
satisfaz
a), e
b) sempre queentão ,
entãoé todo , isto é,
Passo 3
O axioma da indução é crucial porque garante que qualquer propriedade que seja verdadeira em zero e que seja “herdada” pelo sucessor de cada natural valerá para todos os números naturais. Sem ele, não teríamos um mecanismo geral para estender provas feitas “caso a caso” a infinitamente muitos números. É esse princípio que justifica todas as provas por indução e também fundamenta definições recursivas em
.
Resposta
-
Axiomas de Peano:
-
-
existe e para todo . -
tal que . -
-
Se
contém e , então . -
Importância do princípio da indução:
Ele permite provar que qualquer afirmação que seja verdadeira eme se mantenha verdadeira ao passar de um natural para seu sucessor vale para todos os naturais, fornecendo um método sistemático para lidar com infinitude.