Questão 1. (Axiomas de Peano) Liste os axiomas de Peano que caracterizam o conjunto dos números naturais. Em seguida, explique com suas palavras a importância do axioma do princípio da indução matemática.

Passo 1

O enunciado pede para listar os axiomas de Peano que caracterizam o conjunto dos números naturais e depois explicar, com nossas próprias palavras, por que o axioma do princípio da indução matemática é tão importante. O assunto envolve a definição axiomática de \mathbb{N} e o uso da indução para demonstrar propriedades que valem para todos os naturais.

Passo 2

Os cinco axiomas de Peano são:
  1. Existe um elemento denominado zero, isto é, \displaystyle 0 \in \mathbb{N}.
  2. Cada número natural tem um sucessor, ou seja, existe uma função \displaystyle S\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}
    tal que para todo n\in\mathbb{N}, S(n) também pertence a \mathbb{N}.
  3. Zero não é o sucessor de nenhum natural:
\not\!\exists\,n\in\mathbb{N}\quad S(n)=0.
  1. A função sucessor é injetora:
\forall a,b\in\mathbb{N},\;S(a)=S(b)\implies a=b.
  1. (Princípio da Indução) Se um subconjunto K\subseteq\mathbb{N} satisfaz
    a) 0\in K, e
    b) sempre que n\in K então S(n)\in K,
    então K é todo \mathbb{N}, isto é, K=\mathbb{N}.

Passo 3

O axioma da indução é crucial porque garante que qualquer propriedade que seja verdadeira em zero e que seja “herdada” pelo sucessor de cada natural valerá para todos os números naturais. Sem ele, não teríamos um mecanismo geral para estender provas feitas “caso a caso” a infinitamente muitos números. É esse princípio que justifica todas as provas por indução e também fundamenta definições recursivas em \mathbb{N}.

Resposta

  1. Axiomas de Peano:
  2. \displaystyle 0\in\mathbb{N}.
  3. \displaystyle S\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N} existe e S(n)\in\mathbb{N} para todo n.
  4. \not\!\exists\,n tal que S(n)=0.
  5. \forall a,b,\;S(a)=S(b)\implies a=b.
  6. Se K\subseteq\mathbb{N} contém 0 e n\in K\implies S(n)\in K, então K=\mathbb{N}.
  7. Importância do princípio da indução:
    Ele permite provar que qualquer afirmação que seja verdadeira em 0 e se mantenha verdadeira ao passar de um natural para seu sucessor vale para todos os naturais, fornecendo um método sistemático para lidar com infinitude.

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