Questão 4: Resolva:
(1,0 ponto) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2}(\theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(\theta)\,d\theta.
Informações dadas:
  • A variável de integração é \theta.
  • O integrando é \cos^{2}(\theta).
  • O intervalo de integração é de \theta=0 até \theta=\dfrac{\pi}{2}.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Escolha do método: integrar \cos^{2}(\theta) diretamente é inconveniente; o jeito padrão e mais simples é usar a identidade de redução de potência que transforma \cos^{2} numa soma de termos mais fáceis de integrar. Essa identidade vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos(2\theta)=2\cos^{2}(\theta)-1.
Isolando \cos^{2}(\theta) nessa fórmula obtemos a identidade usada:
\cos^{2}(\theta)=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Explicação rápida: \cos(2\theta) relaciona o cosseno ao quadrado com uma combinação linear; ao resolver para \cos^{2} obtemos uma média entre 1 e \cos(2\theta), o que facilita a integração.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral e usando a linearidade da integral (ou seja, \int(a+b)=\int a+\int b e \int c\cdot f = c\int f para constante c), temos:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(\theta)\,d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2\theta)\,d\theta.

Passo 4

Calcule a primeira integral simples:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1\,d\theta = \frac{1}{2}\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.
Aqui a antiderivada de 1 em relação a \theta é \theta.

Passo 5

Calcule a segunda integral:
Primeiro, a antiderivada de \cos(2\theta) é \dfrac{1}{2}\sin(2\theta), porque ao derivar \sin(2\theta) aparece o fator 2 que se cancela com \tfrac{1}{2}. Então
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4}\bigl(\sin(\pi)-\sin(0)\bigr) = \frac{1}{4}(0-0) = 0.
Observação: \sin(\pi)=0 e \sin(0)=0.

Passo 6

Somando as duas contribuições:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(\theta)\,d\theta = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}.
Comentário intuitivo (útil para prova): a função \cos^{2}(\theta) tem média 1/2 ao longo de um período, então sobre um intervalo de comprimento \tfrac{\pi}{2} o valor da integral é \tfrac{\pi}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{4}. Mas na prova vale sempre mostrar a identidade e os cálculos formais.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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