Questão 4: Resolva:
(1,0 ponto)
(1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até .
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Escolha do método: integrar
diretamente é inconveniente; o jeito padrão e mais simples é usar a identidade de redução de potência que transforma
numa soma de termos mais fáceis de integrar. Essa identidade vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Isolando
nessa fórmula obtemos a identidade usada:
Explicação rápida:
relaciona o cosseno ao quadrado com uma combinação linear; ao resolver para
obtemos uma média entre
e
, o que facilita a integração.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral e usando a linearidade da integral (ou seja,
e
para constante
), temos:
Passo 4
Calcule a primeira integral simples:
Aqui a antiderivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Calcule a segunda integral:
Primeiro, a antiderivada de é
, porque ao derivar
aparece o fator
que se cancela com
. Então
Primeiro, a antiderivada de
Observação:
e
.
Passo 6
Somando as duas contribuições:
Comentário intuitivo (útil para prova): a função
tem média
ao longo de um período, então sobre um intervalo de comprimento
o valor da integral é
. Mas na prova vale sempre mostrar a identidade e os cálculos formais.