Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
, onde
é a região compreendida entre as curvas
e
, com
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
, onde
é a região limitada pelas curvas
e
no intervalo
.
Informações dadas:
- As curvas que limitam a região são
(reta) e (exponencial). - O domínio em
é . - A função a integrar é
.
O que se pede:
- Calcular o valor numérico da integral dupla
.
Passo 2
Descrever a região
de forma conveniente para integração.
Para cada
fixo em
,
varia entre a curva inferior
e a curva superior
, pois para
vale
. Logo podemos escrever
.
Portanto a ordem natural é integrar primeiro em
(de
a
) e depois em
(de
a
).
Passo 3
Montar a integral iterada correspondente à descrição da região:
Explicando as notações:
- A integral interna
calcula a área sob ao longo do segmento vertical para um fixo. - A integral externa
soma essas contribuições para todos os em .
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Integramos termo a termo:
Aqui
é tratado como constante em relação a
. Então
Logo uma primitiva em
é
.
Passo 5
Avaliar a primitiva entre os limites
e
:
Simplificando o segundo parêntese:
Portanto a integral interna fornece o integrando para a integral em
:
Passo 6
Agora a integral dupla vira uma integral simples em
:
Vamos dividir em três integrais mais simples:
Passo 7
Calcular
por partes.
Regra de integração por partes: se escolho
e
, então
e
. A fórmula é
Aplicando:
Calcule os termos:
E
Portanto
Passo 8
Calcular
.
Aprimorando:
porque a derivada de
é
. Assim
Passo 9
Calcular
.
Integral de potência:
. Logo
Passo 10
Somar os três resultados:
Fazer a simplificação aritmética:
Portanto