Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{B} x+y d x d y, onde B é a região compreendida entre as curvas y=x e y=e^{x}, com 0 \leq x \leq 1;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{B} x+y \, dx\,dy, onde B é a região limitada pelas curvas y=x e y=e^{x} no intervalo 0\le x\le 1.
Informações dadas:
  • As curvas que limitam a região são y=x (reta) e y=e^{x} (exponencial).
  • O domínio em x é 0\le x\le 1.
  • A função a integrar é f(x,y)=x+y.
O que se pede:
  • Calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{B} (x+y)\,dx\,dy.

Passo 2

Descrever a região B de forma conveniente para integração.
Para cada x fixo em [0,1], y varia entre a curva inferior y=x e a curva superior y=e^{x}, pois para 0\le x\le1 vale x\le e^{x}. Logo podemos escrever B=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\; x\le y\le e^{x}\}.
Portanto a ordem natural é integrar primeiro em y (de y=x a y=e^{x}) e depois em x (de 0 a 1).

Passo 3

Montar a integral iterada correspondente à descrição da região:
\iint_{B} (x+y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x}^{e^{x}} (x+y)\,dy\right)dx.
Explicando as notações:
  • A integral interna \int_{y=x}^{e^{x}} (x+y)\,dy calcula a área sob x+y ao longo do segmento vertical para um x fixo.
  • A integral externa \int_{0}^{1} (\cdots) dx soma essas contribuições para todos os x em [0,1].

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Integramos termo a termo:
\int (x+y)\,dy = \int x\,dy + \int y\,dy.
Aqui x é tratado como constante em relação a y. Então
\int x\,dy = x y, \qquad \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Logo uma primitiva em y é x y + \dfrac{y^{2}}{2}.

Passo 5

Avaliar a primitiva entre os limites y=x e y=e^{x}:
\int_{y=x}^{e^{x}} (x+y)\,dy = \left[ x y + \frac{y^{2}}{2} \right]_{y=x}^{y=e^{x}} = \left(xe^{x} + \frac{e^{2x}}{2}\right) - \left(x\cdot x + \frac{x^{2}}{2}\right).
Simplificando o segundo parêntese:
x\cdot x + \frac{x^{2}}{2} = x^{2}+\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}.
Portanto a integral interna fornece o integrando para a integral em x:
\int_{y=x}^{e^{x}} (x+y)\,dy = x e^{x} + \frac{e^{2x}}{2} - \frac{3}{2}x^{2}.

Passo 6

Agora a integral dupla vira uma integral simples em x:
\iint_{B} (x+y)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\left(x e^{x} + \frac{e^{2x}}{2} - \frac{3}{2}x^{2}\right)dx.
Vamos dividir em três integrais mais simples:
I_1=\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx,\qquad I_2=\int_{0}^{1} \frac{e^{2x}}{2}\,dx,\qquad I_3=\int_{0}^{1} -\frac{3}{2}x^{2}\,dx.

Passo 7

Calcular I_1=\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx por partes.
Regra de integração por partes: se escolho u=x e dv=e^{x}dx, então du=dx e v=e^{x}. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aplicando:
I_1 = \left. x e^{x} \right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}\,dx.
Calcule os termos:
\left. x e^{x} \right|_{0}^{1} = 1\cdot e^{1} - 0\cdot e^{0} = e.
E
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = \left. e^{x}\right|_{0}^{1} = e-1.
Portanto
I_1 = e - (e-1) = 1.

Passo 8

Calcular I_2=\int_{0}^{1} \frac{e^{2x}}{2}\,dx.
Aprimorando: \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} porque a derivada de 2x é 2. Assim
I_2 = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}\left(e^{2}-1\right).

Passo 9

Calcular I_3=\int_{0}^{1} -\frac{3}{2}x^{2}\,dx.
Integral de potência: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Logo
I_3 = -\frac{3}{2}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = -\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{2}.

Passo 10

Somar os três resultados:
\iint_{B} (x+y)\,dx\,dy = I_1 + I_2 + I_3 = 1 + \frac{1}{4}\left(e^{2}-1\right) - \frac{1}{2}.
Fazer a simplificação aritmética:
1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
Portanto
1 + \frac{1}{4}\left(e^{2}-1\right) - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}e^{2} = \frac{1+e^{2}}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1+e^{2}}{4}

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