Questão 4. (Integrais duplas em coordenadas polares) Calcule as seguintes integrais duplas, usando coordenadas polares: \iint_{B} \operatorname{sen}\left(4 x^{2}+y^{2}\right) d A, onde B é o conjunto dos pontos (x, y) tais que 4 x^{2}+y^{2} \leq 1 e y \geq 0;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \sin\left(4x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde B é o conjunto dos pontos (x,y) tais que 4x^{2}+y^{2}\le 1 e y\ge 0.
Informações relevantes dadas:
A função a integrar é \sin\bigl(4x^{2}+y^{2}\bigr).
A região B é a metade superior da elipse 4x^{2}+y^{2}\le 1 (a condição y\ge 0 seleciona a metade superior).
O enunciado pede para usar coordenadas polares (ou, pelo menos, indica que se use uma transformação relacionada a coordenadas polares).
Passo 2
Ideia geral e motivo da mudança de variável (explicação conceitual): a região B é uma elipse com equação 4x^{2}+y^{2}=1. Em coordenadas polares usuais (x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta) a expressão 4x^{2}+y^{2} fica r^{2}\bigl(4\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr), que depende de \theta e não simplifica bem. Uma forma clássica de tratar elipses é aplicar um alongamento/contração linear que transforme a elipse numa circunferência: definir
u=2x,\qquad v=y.
Com essa transformação a equação da elipse fica u^{2}+v^{2}\le 1, ou seja, o disco unitário. Depois podemos usar coordenadas polares no par (u,v). Vou explicar cada passo com calma e calcular o jacobiano dessa transformação.
Passo 3
Transformação e jacobiano (aula curta sobre mudança de variável linear):
Considere a transformação linear dos pontos (x,y) para (u,v) dada por
u=2x,\qquad v=y.
A inversa é
x=\frac{u}{2},\qquad y=v.
O jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é o determinante da matriz das derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v):
J=\det\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}.