Questão 1. (Integrais duplas sobre regiões retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{R} \frac{x}{1+x y} d A, onde R=[0,1] \times[0,1];

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
\iint_{R} \frac{x}{1+xy}\,dA,
onde R=[0,1]\times[0,1].
Informações fornecidas:
  • A região R é o quadrado com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 1.
  • A função a integrar é f(x,y)=\dfrac{x}{1+xy}.
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Primeiro passo prático: usar o teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. Como f(x,y)=\dfrac{x}{1+xy} é contínua em todo o quadrado fechado R, pode-se calcular a integral dupla como integral iterada. Vou integrar primeiro em y e depois em x:
\iint_{R}\frac{x}{1+xy}\,dA=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\frac{x}{1+xy}\,dy\right)dx.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x}{1+xy}\,dy. Aqui x aparece como parâmetro na integral em y. Para facilitar, faço a substituição
u=1+xy.
Então \,du = x\,dy, ou seja dy=\dfrac{du}{x}. Quando y=0 temos u=1. Quando y=1 temos u=1+x. Substituindo na integral interna:
\int_{0}^{1}\frac{x}{1+xy}\,dy = x\int_{0}^{1}\frac{1}{1+xy}\,dy = x\int_{u=1}^{u=1+x}\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{x}.
Os fatores x cancelam e resta
\int_{u=1}^{u=1+x}\frac{du}{u}=\left[\ln u\right]_{1}^{1+x}=\ln(1+x)-\ln 1=\ln(1+x).
Portanto a integral interna é \ln(1+x).

Passo 4

Substituindo o resultado da integral interna na integral iterada, obtemos
\iint_{R}\frac{x}{1+xy}\,dA=\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx.
Agora falta calcular \displaystyle \int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int \ln(1+x)\,dx uso integração por partes. Lembra da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho u=\ln(1+x) e dv=dx. Então
du=\frac{1}{1+x}\,dx,\qquad v=x.
Aplicando a fórmula:
\int \ln(1+x)\,dx = x\ln(1+x) - \int x\cdot\frac{1}{1+x}\,dx.

Passo 6

Agora calculo \displaystyle \int \frac{x}{1+x}\,dx. Faço uma decomposição simples:
\frac{x}{1+x}=\frac{1+x-1}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}.
Logo
\int \frac{x}{1+x}\,dx=\int\left(1-\frac{1}{1+x}\right)dx = x - \ln(1+x)+C.
Substituindo de volta em integração por partes:
\int \ln(1+x)\,dx = x\ln(1+x) - \bigl(x-\ln(1+x)\bigr) + C = (x+1)\ln(1+x) - x + C.

Passo 7

Agora avalio a primitiva no intervalo de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx = \bigl[(x+1)\ln(1+x)-x\bigr]_{0}^{1}.
Calculo nos extremos:
  • Em x=1: (1+1)\ln(1+1)-1 = 2\ln 2 -1.
  • Em x=0: (0+1)\ln(1+0)-0 = \ln 1 = 0.
    Subtraindo:
\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx = 2\ln 2 -1 - 0 = 2\ln 2 -1.

Passo 8

Conclusão: o valor da integral dupla pedida é \,2\ln 2 - 1. Dá para verificar mentalmente que o resultado é positivo porque 2\ln 2\approx2\cdot0{,}693=1{,}386 e 1{,}386-1=0{,}386>0 — só para se animar, tá tudo consistente.

Resposta

2\ln 2 - 1

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