Questão 1. (Integrais duplas sobre regiões retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
onde
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A região
é o quadrado com variando de a e variando de a . - A função a integrar é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Primeiro passo prático: usar o teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. Como
é contínua em todo o quadrado fechado
, pode-se calcular a integral dupla como integral iterada. Vou integrar primeiro em
e depois em
:
Passo 3
Calcular a integral interna
. Aqui
aparece como parâmetro na integral em
. Para facilitar, faço a substituição
Então
, ou seja
. Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo na integral interna:
Os fatores
cancelam e resta
Portanto a integral interna é
.
Passo 4
Substituindo o resultado da integral interna na integral iterada, obtemos
Agora falta calcular
.
Passo 5
Para calcular
uso integração por partes. Lembra da fórmula de integração por partes:
Escolho
e
. Então
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Agora calculo
. Faço uma decomposição simples:
Logo
Substituindo de volta em integração por partes:
Passo 7
Agora avalio a primitiva no intervalo de
a
:
Calculo nos extremos:
- Em
: - Em
:
Subtraindo:
Passo 8
Conclusão: o valor da integral dupla pedida é
. Dá para verificar mentalmente que o resultado é positivo porque
e
— só para se animar, tá tudo consistente.