Questão 1. (Integrais duplas sobre regiões retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
.
Informações fornecidas:
- A região
é o retângulo em e com e . - A função a integrar é
. - O problema pede o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Observações iniciais e escolha do caminho (sem cálculos ainda).
- A função integrando é um produto de uma função que depende só de
, , por outra que depende só de , . - Como a região
é um retângulo e a função é contínua em , podemos separar a integral dupla em produto de integrais simples (teorema de Fubini / propriedade de integrais sobre produto de funções separáveis). Isso significa que
Nos próximos passos vou calcular cada uma dessas integrais simples cuidadosamente.
Passo 3
Cálculo da integral em
:
Para integrar
usamos a identidade trigonométrica de redução:
Explicando: essa identidade vem da fórmula do cosseno duplo
, isolando
obtemos a identidade acima. Assim
Agora integramos termo a termo:
Portanto
Passo 4
Cálculo da integral em
:
Aqui usamos a primitiva conhecida
. Para adaptar, fazemos a substituição
, então
ou
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Agora a integral de
é
, então
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 5
Combinação dos resultados:
- Do Passo 3 temos
. - Do Passo 4 temos
.
Pela separação indicada no Passo 2, a integral dupla é o produto
.