Questão 1. (Integrais duplas sobre regiões retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{R} \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{1+4 y^{2}} d x d y, onde R=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{1}{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{1+4 y^{2}}\,dx\,dy,
onde R=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\times\left[0,\frac{1}{2}\right].
Informações fornecidas:
  • A região R é o retângulo em x e y com 0\le x\le \dfrac{\pi}{2} e 0\le y\le \dfrac{1}{2}.
  • A função a integrar é \dfrac{\operatorname{sen}^{2} x}{1+4 y^{2}}.
  • O problema pede o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Observações iniciais e escolha do caminho (sem cálculos ainda).
  • A função integrando é um produto de uma função que depende só de x, \operatorname{sen}^{2} x, por outra que depende só de y, \dfrac{1}{1+4y^{2}}.
  • Como a região R é um retângulo e a função é contínua em R, podemos separar a integral dupla em produto de integrais simples (teorema de Fubini / propriedade de integrais sobre produto de funções separáveis). Isso significa que
\iint_{R} \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{1+4 y^{2}}\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{2} x\,dx\right)\cdot\left(\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+4 y^{2}}\,dy\right).
Nos próximos passos vou calcular cada uma dessas integrais simples cuidadosamente.

Passo 3

Cálculo da integral em x:
I_x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{2} x\,dx.
Para integrar \operatorname{sen}^{2} x usamos a identidade trigonométrica de redução:
\operatorname{sen}^{2} x = \frac{1-\cos(2x)}{2}.
Explicando: essa identidade vem da fórmula do cosseno duplo \cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^{2}x, isolando \operatorname{sen}^{2}x obtemos a identidade acima. Assim
I_x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1-\cos(2x)\right)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1\,dx = \left[x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2},
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\,dx = \left[\frac{\sin(2x)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin(\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = 0.
Portanto
I_x=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Cálculo da integral em y:
I_y=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+4 y^{2}}\,dy.
Aqui usamos a primitiva conhecida \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du=\arctan u. Para adaptar, fazemos a substituição u=2y, então du=2\,dy ou dy=\dfrac{du}{2}. Quando y vai de 0 a \dfrac{1}{2}, u vai de 0 a 1. Assim
I_y=\int_{u=0}^{1} \frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \frac{1}{1+u^{2}}\,du.
Agora a integral de \dfrac{1}{1+u^{2}} é \arctan u, então
I_y=\frac{1}{2}\left[\arctan u\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\left(\arctan 1 - \arctan 0\right).
Sabendo que \arctan 1 = \dfrac{\pi}{4} e \arctan 0 = 0, obtemos
I_y=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}.

Passo 5

Combinação dos resultados:
  • Do Passo 3 temos I_x=\dfrac{\pi}{4}.
  • Do Passo 4 temos I_y=\dfrac{\pi}{8}.
Pela separação indicada no Passo 2, a integral dupla é o produto I_x\cdot I_y.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{32}

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