Questão 2. Intuitivamente, dizemos que uma função f admite limite real \ell em um ponto x_{0} se pudermos aproximar arbitrariamente f(x) de \ell aproximando x suficientemente de x_{0} sem atingi-lo. Em linguagem matemática, temos:
Escreva em linguagem matemática a definição de assíntota horizontal: dizemos que uma função f admite uma assíntota horizontal \ell no sentido positivo se pudermos aproximar arbitrariamente f(x) de \ell tomando x suficientemente grande.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva, em linguagem matemática precisa, a definição de “assíntota horizontal \ell no sentido positivo”. O que isso quer dizer intuitivamente: se aproximarmos x de +\infty (ou seja, tomarmos x suficientemente grande) então os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de \ell sem que seja necessário atingir algum ponto específico. Informações relevantes fornecidas: a definição deve ser análoga à definição ε–δ de limite em ponto, mas agora para x tendendo a +\infty; a função tem domínio D_f.
Passo 2
Transformando a ideia intuitiva em linguagem de quantificadores (o mesmo estilo da definição dada no enunciado): a expressão "para todo \varepsilon>0 existe algo tal que para todo x grande temos |f(x)-\ell|<\varepsilon" vira formalmente um quantificador que usa uma constante que marca o quão grande x deve ser. Em vez de \delta (que mede distância em torno de x_0), usamos um número M>0 que determina “a partir de qual x as coisas ficam próximas”. A forma padrão é:
Essa é a tradução direta da frase "tomando x suficientemente grande, f(x) fica arbitrariamente próximo de \ell".
Passo 3
Explicando cuidadosamente cada parte dessa definição (é importante entender o papel de cada quantificador):
\forall \varepsilon>0: escolha qualquer tolerância de erro positiva; queremos garantir que podemos chegar dentro dessa tolerância.
\exists M>0: existe um número M (dependente de \varepsilon) tal que…
\forall x\in D_f,\\ x>M\Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon: para todo x do domínio com x maior que M, o valor f(x) difere de \ell em menos de \varepsilon. Ou seja, além de M todos os valores de f ficam dentro da faixa (\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon).
Passo 4
Um pequeno exemplo concreto para fixar a ideia: tome f(x)=\dfrac{1}{x} e \ell=0. Dado \varepsilon>0, se escolhermos M=\dfrac{1}{\varepsilon} então, para todo x\in D_f com x>M, temos
Isso mostra que \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 e, portanto, y=0 é assíntota horizontal no sentido positivo para f. Esse tipo de verificação é o que se pede fazer na prova: dado \varepsilon você apresenta um M em função de \varepsilon e mostra a implicação.
Passo 5
Observação final e notação: a definição escrita no Passo 2 é equivalentes a dizer
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\ell.
Usar a forma por quantificadores é o que se exige quando se quer a definição rigorosa de “assíntota horizontal \ell no sentido positivo”.