Questão 5 - Com o intuito de simplificar as análises a respeito de uma associação ou até mesmo de uma tubulação linear, podemos utilizar a técnica dos condutos equivalentes. O único critério a ser seguido na determinação do conduto equivalente é o fato de ele ter perda de carga igual ao trecho que representará, quando escoando a mesma vazão. Considere um sistema de tubulações em série, no qual o primeiro trecho tem diâmetro de 6^{\prime \prime} e comprimento de 120 m e o segundo, 8^{\prime \prime} e 180 m . Considere que os escoamentos de ambos os trechos têm fator de atrito (f) de 0,03 . Assumindo que o conduto equivalente desse sistema deverá ter 4^{\prime \prime}, determine seu comprimento.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas tubulações em série, com diâmetros \,D_{1}=6^{\prime\prime}, comprimento L_{1}=120\:\mathrm{m} e \,D_{2}=8^{\prime\prime}, L_{2}=180\:\mathrm{m}, ambas com fator de atrito f=0,03. Queremos um conduto equivalente de diâmetro \,D_{e}=4^{\prime\prime} que, para a mesma vazão, tenha a mesma perda de carga total. Usaremos a fórmula de perda de carga de Darcy–Weisbach e a relação de velocidades em função do diâmetro, já que a vazão é a mesma em toda a série.

Passo 2

Para cada trecho i a perda de carga vale
h_{L,i} \;=\; f\,\frac{L_{i}}{D_{i}}\,\frac{V_{i}^{2}}{2g}
e a perda total é
h_{L,\text{total}} \;=\; \sum_{i=1}^{2} h_{L,i}.
Para o conduto equivalente de comprimento L_{e} e diâmetro D_{e} vale
h_{L,e} \;=\; f\,\frac{L_{e}}{D_{e}}\,\frac{V_{e}^{2}}{2g}.
Igualamos h_{L,\text{total}}=h_{L,e}, e como f e 2g são comuns, elas se cancelam.

Passo 3

Como a vazão Q é única, a velocidade relaciona-se com o diâmetro por
V_{i} = \frac{Q}{A_{i}} \quad\text{e}\quad A_{i}=\frac{\pi D_{i}^{2}}{4} \;\Longrightarrow\; \frac{V_{i}}{V_{e}} = \frac{D_{e}^{2}}{D_{i}^{2}} \;\Longrightarrow\; V_{i}^{2} = V_{e}^{2}\,\frac{D_{e}^{4}}{D_{i}^{4}}.

Passo 4

Substituindo em
\sum_{i=1}^{2}\frac{L_{i}}{D_{i}}\,V_{i}^{2}=\frac{L_{e}}{D_{e}}\,V_{e}^{2}
temos
\sum_{i=1}^{2} \frac{L_{i}}{D_{i}}\;V_{e}^{2}\,\frac{D_{e}^{4}}{D_{i}^{4}} \;=\;\frac{L_{e}}{D_{e}}\,V_{e}^{2}.
Cancelando V_{e}^{2} e isolando L_{e}, resulta
L_{e} = D_{e}\,\sum_{i=1}^{2} \frac{L_{i}}{D_{i}}\;\frac{D_{e}^{4}}{D_{i}^{4}} = \sum_{i=1}^{2} L_{i}\,\frac{D_{e}^{5}}{D_{i}^{5}} \;=\;D_{e}^{5}\Bigl(\frac{L_{1}}{D_{1}^{5}}+\frac{L_{2}}{D_{2}^{5}}\Bigr).

Passo 5

Usando diâmetros em polegadas e comprimentos em metros:
\frac{D_{e}^{5}}{D_{1}^{5}} =\Bigl(\frac{4}{6}\Bigr)^{5}=\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{5}=\frac{32}{243}\approx0,1317, \quad \frac{D_{e}^{5}}{D_{2}^{5}} =\Bigl(\frac{4}{8}\Bigr)^{5}=\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{5}=\frac{1}{32}=0,03125.
Então
L_{e} =120\cdot0,1317 + 180\cdot0,03125 =15,804 + 5,625 \approx21,43\:\mathrm{m}.

Resposta

O comprimento do conduto equivalente de 4^{\prime\prime} é aproximadamente 21{,}4\:\mathrm{m}.

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