Questão 1 Nos itens abaixo, encontre a solução geral para a equação dada.
y^(5)-16 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de ordem 5 y^(5) - 16y' = 0. Trata-se de uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, supondo uma solução do tipo y=e^rx.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y=e^rx em y^(5) - 16y' = 0, o que nos dá:
r^5 - 16r = 0

Passo 3

Fatoramos r^5 - 16r extraindo r:
r(r^4 -16)=0

Passo 4

Da fatoração, obtemos uma raiz r=0 e as raízes de r^4=16.

Passo 5

Para resolver r^4 =16, escrevemos r^4 = 2^4, logo:

Passo 6

Portanto, as cinco raízes são r1=0, r2=2, r3=-2, r4=2i e r5=-2i. As raízes complexas geram funções reais de cosseno e seno.

Passo 7

A solução geral é a combinação linear das soluções elementares associadas a cada raiz: exponenciais para raízes reais e cosseno/seno para as complexas.

Passo 8

Reunindo tudo, a solução geral fica:
$$y(x)=C_1 ;+
C_2e{2x}+C_3e{-2x}+C_4\cos(2x)+C_5\sin(2x),$$ onde y(x)=C1 ;+ C2e^2x+C3e^-2x+C4cos(2x)+C5sin(2x), são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1 + C2e^2x+C3e^-2x+C4cos(2x)+C5sin(2x)

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