Questão 1 Nos itens abaixo, encontre a solução geral para a equação dada.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de ordem 5
. Trata-se de uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, supondo uma solução do tipo
.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada substituindo
em
, o que nos dá:
Passo 3
Fatoramos
extraindo
:
Passo 4
Da fatoração, obtemos uma raiz
e as raízes de
.
Passo 5
Para resolver
, escrevemos
, logo:
Passo 6
Portanto, as cinco raízes são
,
,
,
e
. As raízes complexas geram funções reais de cosseno e seno.
Passo 7
A solução geral é a combinação linear das soluções elementares associadas a cada raiz: exponenciais para raízes reais e cosseno/seno para as complexas.
Passo 8
Reunindo tudo, a solução geral fica:
$$y(x)=C_1 ;+
C_2e{2x}+C_3e{-2x}+C_4\cos(2x)+C_5\sin(2x),$$ onde
são constantes arbitrárias.