Questão 5 Nos problemas a seguir, determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenha como solução as funções dadas.
x, x^2, e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes cuja família de soluções inclua exatamente as funções dadas: x, x^2 e e^2x. Vamos usar o fato de que as raízes da equação característica indicam as formas das soluções.

Passo 2

Em uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, se r=a é raiz da equação característica de multiplicidade m, temos como soluções associadas:
e^ax,; x e^ax,; x^2 e^ax,;dots,; x^m-1e^ax

Passo 3

Para que x e x^2 apareçam como soluções, precisamos de um fator r=0 de multiplicidade 3 na característica. Com isso surgem as soluções e^0x=1, x e x^2.
Para que e^2x seja solução, incluímos r=2 como raiz simples (multiplicidade 1).
A equação característica que reúne essas raízes fica:
r^3(r-2)=0

Passo 4

Isso gera um polinômio característico de grau 4. A EDO correspondente, trocando r por D, é:
$$D^3(D-2)y = 0,
$$ou, desenvolvendo,
D^3(D-2)y = 0,

Passo 5

Podemos verificar rapidamente: substituindo y=x, y=x^2 ou y=e^2x na equação acima, o resultado se anula, confirmando que são soluções.

Resposta

y^(4) - 2y^(3) = 0

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