Questão 5 Nos problemas a seguir, determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenha como solução as funções dadas.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes cuja família de soluções inclua exatamente as funções dadas:
,
e
. Vamos usar o fato de que as raízes da equação característica indicam as formas das soluções.
Passo 2
Em uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, se
é raiz da equação característica de multiplicidade
, temos como soluções associadas:
Passo 3
Para que
e
apareçam como soluções, precisamos de um fator
de multiplicidade 3 na característica. Com isso surgem as soluções
,
e
.
Para que seja solução, incluímos
como raiz simples (multiplicidade 1).
A equação característica que reúne essas raízes fica:
Para que
A equação característica que reúne essas raízes fica:
Passo 4
Isso gera um polinômio característico de grau 4. A EDO correspondente, trocando
por
, é:
$$D^3(D-2)y = 0,
$$ou, desenvolvendo,
Passo 5
Podemos verificar rapidamente: substituindo
,
ou
na equação acima, o resultado se anula, confirmando que são soluções.