Questão 1 - Encontre a transformada de Laplace para as seguintes funções (para $t \geq 0$ ) utilizando uma tabela de transformadas (disponível no AVA) e as transformadas desenvolvidas em sala.
$f(t)=t e^{\alpha t}$

O enunciado pede a transformada de Laplace da função

f(t)=t\,e^{\alpha t},\quad t\ge0.

O conteúdo principal é a definição de transformada de Laplace e a propriedade de diferenciação em relação a

s

, que conecta o fator

t

no domínio do tempo a uma derivada em

s

Primeiro, recordamos pela tabela de transformadas que

\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{\alpha t}\,dt =\frac{1}{s-\alpha},

válido para

\Re(s)>\Re(\alpha)

Agora usamos a propriedade de diferenciação em

s

, que diz

\mathcal{L}\{t\,g(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{g(t)\}(s)\bigr].

Tomando

g(t)=e^{\alpha t}

, temos

\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=1/(s-\alpha)

Aplicando a diferenciação,

\mathcal{L}\{t\,e^{\alpha t}\}(s) =-\frac{d}{ds}\!\biggl[\frac{1}{s-\alpha}\biggr] =-\Bigl(-1\Bigr)\frac{1}{(s-\alpha)^{2}} =\frac{1}{(s-\alpha)^{2}}.

Mantém-se a condição de convergência

\Re(s)>\Re(\alpha)

\mathcal{L}\{t\,e^{\alpha t}\}(s) =\frac{1}{(s-\alpha)^{2}},\quad \Re(s)>\Re(\alpha).

Questão 1 - Encontre a transformada de Laplace para as seguintes funções (para t \geq 0 ) utilizando uma tabela de transformadas (disponível no AVA) e as transformadas desenvolvidas em sala. f(t)=t e^{\alpha t}