Questão 8 Nos itens abaixo, use demonstração por indução para provar que são válidas as afirmações feitas, onde n é um número inteiro.
4+10+16+\ldots+(6 n-2)=n(3 n+1), \forall n \geq 1;

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que
4 + 10 + 16 + \dots + (6n - 2) \;=\; n(3n + 1)
para todo inteiro n \ge 1. O conteúdo usado será o princípio da indução matemática.

Passo 2

Base da indução n=1:
O lado esquerdo é 4 e o lado direito é
1 \cdot (3\cdot1 + 1) = 4.
Portanto a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n \ge 1 valha
\sum_{k=1}^{n}(6k - 2) \;=\; n(3n + 1).

Passo 4

Passo indutivo n \to n+1:
Considere
\sum_{k=1}^{n+1}(6k - 2) = \sum_{k=1}^{n}(6k - 2) \;+\; \bigl(6(n+1)-2\bigr).
Pela hipótese de indução isso é
n(3n + 1) \;+\; \bigl(6n + 6 - 2\bigr) = n(3n + 1) + (6n + 4) = 3n^2 + n + 6n + 4 = 3n^2 + 7n + 4.
Por outro lado, o lado direito para n+1 é
(n+1)\bigl(3(n+1) + 1\bigr) = (n+1)(3n + 4) = 3n^2 + 7n + 4.
Logo
\sum_{k=1}^{n+1}(6k - 2) = (n+1)\bigl(3(n+1) + 1\bigr),
completando o passo indutivo.

Passo 5

Pelo princípio da indução, a igualdade
4 + 10 + 16 + \dots + (6n - 2) \;=\; n(3n + 1)
é verdadeira para todo n \ge 1.

Resposta

Está provado que 4+10+16+\dots+(6n-2)=n(3n+1) para todo inteiro n\ge1.

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