Questão 8 Nos itens abaixo, use demonstração por indução para provar que são válidas as afirmações feitas, onde n é um número inteiro.
\left(-\frac{5}{2}\right)+(-2)+\left(-\frac{3}{2}\right)+(-1)+\ldots+\left(\frac{n-6}{2}\right)=\frac{n(n-11)}{4}, \forall n \geq 1;

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que
\sum_{i=1}^{n}\frac{i-6}{2}=\frac{n(n-11)}{4},
para todo inteiro n\ge1. Aqui a sequência é uma progressão aritmética de primeiro termo a_{1}=\frac{1-6}{2}=-\tfrac52 e razão d=\tfrac12.

Passo 2

Base da indução n=1:
O lado esquerdo é
\sum_{i=1}^{1}\frac{i-6}{2}=\frac{1-6}{2}=-\frac52.
O lado direito é
\frac{1\bigl(1-11\bigr)}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac52.
Logo vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para certo k\ge1 valha
\sum_{i=1}^{k}\frac{i-6}{2}=\frac{k(k-11)}{4}.

Passo 4

Passo indutivo n=k+1:
\sum_{i=1}^{\,k+1}\frac{i-6}{2} =\sum_{i=1}^{k}\frac{i-6}{2}+\frac{(k+1)-6}{2} =\frac{k(k-11)}{4}+\frac{k-5}{2}.
Agora colocar tudo sobre 4:
\frac{k(k-11)}{4}+\frac{2(k-5)}{4} =\frac{k^2-11k+2k-10}{4} =\frac{k^2-9k-10}{4} =\frac{(k+1)\bigl((k+1)-11\bigr)}{4}.
Assim a fórmula vale para k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução, a igualdade
\sum_{i=1}^{n}\frac{i-6}{2}=\frac{n(n-11)}{4}
é verdadeira para todo inteiro n\ge1.

Resposta

A igualdade é válida para todo n\ge1.

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