Questão 8 Nos itens abaixo, use demonstração por indução para provar que são válidas as afirmações feitas, onde n é um número inteiro.
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Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo
a soma dos primeiros
termos da progressão geométrica de razão
satisfaz
Para isso, vamos verificar a base
e depois fazer o passo indutivo.
Passo 2
(Base da indução) Para
a soma do lado esquerdo é
e o lado direito é
Como os dois lados coincidem, a propriedade vale para
.
Passo 3
(Passo indutivo) Suponha que, para algum
, seja verdadeira a igualdade
Então, ao acrescentar o termo
, temos
Agora observe que
Portanto, a fórmula vale também para
.
Resposta
Pelo princípio de indução, conclui-se que
para todo
.