Questão 8 Nos itens abaixo, use demonstração por indução para provar que são válidas as afirmações feitas, onde n é um número inteiro.
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}, \quad \forall n \geq 1;

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que para todo n\ge1 a soma dos primeiros n termos da progressão geométrica de razão \tfrac12 satisfaz
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} =1 - \frac{1}{2^n}.
Para isso, vamos verificar a base n=1 e depois fazer o passo indutivo.

Passo 2

(Base da indução) Para n=1 a soma do lado esquerdo é
\frac{1}{2},
e o lado direito é
1 - \frac{1}{2^1} =1 - \frac{1}{2} =\frac{1}{2}.
Como os dois lados coincidem, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que, para algum k\ge1, seja verdadeira a igualdade
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^k} =1 - \frac{1}{2^k}.
Então, ao acrescentar o termo \tfrac{1}{2^{k+1}}, temos
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}} =\Bigl(1 - \frac{1}{2^k}\Bigr)+\frac{1}{2^{k+1}} =1 - \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}}.
Agora observe que
1 - \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}} =1 - \frac{2}{2^{k+1}} + \frac{1}{2^{k+1}} =1 - \frac{1}{2^{k+1}}.
Portanto, a fórmula vale também para n=k+1.

Resposta

Pelo princípio de indução, conclui-se que
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} =1 - \frac{1}{2^n}
para todo n\ge1.

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