Questão 8 Nos itens abaixo, use demonstração por indução para provar que são válidas as afirmações feitas, onde n é um número inteiro.
;
Passo 1
O enunciado afirma que a soma dos quadrados dos primeiros
números ímpares
vale
para todo inteiro
.
O conteúdo aqui é prova por indução, que exige verificar um caso base e depois o passo indutivo.
O conteúdo aqui é prova por indução, que exige verificar um caso base e depois o passo indutivo.
Passo 2
No caso base
, o lado esquerdo é
e o lado direito é
Como coincidem, a fórmula vale para
.
Passo 3
Suponha agora, como hipótese de indução, que para algum
valha
Passo 4
Queremos mostrar que então
Usando a hipótese de indução no somatório até
, temos
Dentro dos colchetes:
Por outro lado,
e
Logo ambas as expressões coincidem, provando o passo de
para
.
Passo 5
Como o caso base é verdadeiro e o passo indutivo foi confirmado, concluímos por indução que, para todo inteiro
,
Resposta
A igualdade foi provada por indução e, portanto, válida para todo
.