Questão 8 Nos itens abaixo, use demonstração por indução para provar que são válidas as afirmações feitas, onde n é um número inteiro.
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\frac{n}{3}\left(4 n^{2}-1\right), \quad \forall n \geq 1;

Passo 1

O enunciado afirma que a soma dos quadrados dos primeiros n números ímpares
1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2
vale
\frac{n}{3}\bigl(4n^2 - 1\bigr),
para todo inteiro n\ge1.
O conteúdo aqui é prova por indução, que exige verificar um caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

No caso base n=1, o lado esquerdo é
1^2 = 1
e o lado direito é
\frac{1}{3}\bigl(4\cdot1^2 - 1\bigr) = \frac{1}{3}(4 - 1) = 1.
Como coincidem, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Suponha agora, como hipótese de indução, que para algum k\ge1 valha
1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k-1)^2 = \frac{k}{3}\bigl(4k^2 - 1\bigr).

Passo 4

Queremos mostrar que então
1^2 + 3^2 + \dots + (2k-1)^2 + (2(k+1)-1)^2 = \frac{k+1}{3}\bigl(4(k+1)^2 - 1\bigr).
Usando a hipótese de indução no somatório até k, temos
\frac{k}{3}\bigl(4k^2 - 1\bigr) + (2k+1)^2 = \frac{1}{3}\Bigl[k(4k^2 - 1) + 3(2k+1)^2\Bigr].
Dentro dos colchetes:
k(4k^2 - 1) + 3(4k^2 + 4k + 1) = 4k^3 - k + 12k^2 + 12k + 3 = 4k^3 + 12k^2 + 11k + 3.
Por outro lado,
\frac{k+1}{3}\bigl(4(k+1)^2 - 1\bigr) = \frac{1}{3}(k+1)(4k^2 + 8k + 3)
e
(k+1)(4k^2 + 8k + 3) = 4k^3 + 12k^2 + 11k + 3.
Logo ambas as expressões coincidem, provando o passo de k para k+1.

Passo 5

Como o caso base é verdadeiro e o passo indutivo foi confirmado, concluímos por indução que, para todo inteiro n\ge1,
1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{n}{3}\bigl(4n^2 - 1\bigr).

Resposta

A igualdade foi provada por indução e, portanto, válida para todo n\ge1.

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