Questão 5: Nos itens a seguir, use o teorema da função implícita para obter as derivadas (parciais). \frac{d x}{d y}, \quad \cos (2 x) \sin (3 y)-x y=y^{4}+9 ;
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
\cos(2x)\sin(3y)-x y = y^{4}+9
e pede a derivada de x em relação a y, ou seja \dfrac{d x}{d y}, supondo que x pode ser visto como função de y numa vizinhança (não foi dado ponto específico). As informações relevantes são: a equação implícita que relaciona x e y e que queremos encontrar \dfrac{d x}{d y} em termos de x e y.
Passo 2
Definimos a função
F(x,y)=\cos(2x)\sin(3y)-x y - y^{4}-9,
de modo que a condição dada é F(x,y)=0. Pelo raciocínio padrão da função implícita (não vamos exigir um ponto numérico), se existir uma função x(y) tal que F(x(y),y)=0, derivando essa igualdade em relação a y obtemos a fórmula geral
\frac{d}{dy}F(x(y),y)=0.
Pela regra da cadeia total isso dá
F_x(x,y)\frac{d x}{d y}+F_y(x,y)=0,
onde F_x e F_y são as derivadas parciais de F. Assim a fórmula que vamos usar é
\frac{d x}{d y} = -\frac{F_y}{F_x},
válida desde que F_x(x,y)\neq 0 (essa é a condição do teorema da função implícita para garantir resolução local para x em função de y).
Passo 3
Vamos calcular cuidadosamente F_x e F_y. Para isso lembramos duas regras básicas (vou explicar rapidinho):
Regra do produto: \dfrac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Regra da cadeia: se g(t)=\cos(2t) então g'(t)=-\sin(2t)\cdot 2 (derivando o interno 2t produz o fator 2).
Cálculo de F_x (derivada parcial de F em relação a x, tratando y como constante):
Para \cos(2x)\sin(3y): \sin(3y) é constante quando derivamos em x, e \dfrac{\partial}{\partial x}\cos(2x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x). Portanto a contribuição é
Lembre-se: essa expressão vale nos pontos (x,y) que satisfazem a equação original e onde o denominador 2\sin(2x)\sin(3y)+y (que é -F_x) é diferente de zero; caso contrário a hipótese do teorema da função implícita falha e não garantimos uma função x(y).