Questão 5: Nos itens a seguir, use o teorema da função implícita para obter as derivadas (parciais).
\frac{d x}{d y}, \quad \cos (2 x) \sin (3 y)-x y=y^{4}+9 ;

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\cos(2x)\sin(3y)-x y = y^{4}+9
e pede a derivada de x em relação a y, ou seja \dfrac{d x}{d y}, supondo que x pode ser visto como função de y numa vizinhança (não foi dado ponto específico). As informações relevantes são: a equação implícita que relaciona x e y e que queremos encontrar \dfrac{d x}{d y} em termos de x e y.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y)=\cos(2x)\sin(3y)-x y - y^{4}-9,
de modo que a condição dada é F(x,y)=0. Pelo raciocínio padrão da função implícita (não vamos exigir um ponto numérico), se existir uma função x(y) tal que F(x(y),y)=0, derivando essa igualdade em relação a y obtemos a fórmula geral
\frac{d}{dy}F(x(y),y)=0.
Pela regra da cadeia total isso dá
F_x(x,y)\frac{d x}{d y}+F_y(x,y)=0,
onde F_x e F_y são as derivadas parciais de F. Assim a fórmula que vamos usar é
\frac{d x}{d y} = -\frac{F_y}{F_x},
válida desde que F_x(x,y)\neq 0 (essa é a condição do teorema da função implícita para garantir resolução local para x em função de y).

Passo 3

Vamos calcular cuidadosamente F_x e F_y. Para isso lembramos duas regras básicas (vou explicar rapidinho):
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  • Regra da cadeia: se g(t)=\cos(2t) então g'(t)=-\sin(2t)\cdot 2 (derivando o interno 2t produz o fator 2).
Aplicando essas regras às parcelas de F:
F(x,y)=\underbrace{\cos(2x)\sin(3y)}_{\text{produto}} \;-\; \underbrace{x y}_{\text{produto}} \;-\; y^{4}-9.

Passo 4

Cálculo de F_x (derivada parcial de F em relação a x, tratando y como constante):
  • Para \cos(2x)\sin(3y): \sin(3y) é constante quando derivamos em x, e \dfrac{\partial}{\partial x}\cos(2x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x). Portanto a contribuição é
\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos(2x)\sin(3y)\big) = -2\sin(2x)\sin(3y).
  • Para -x y: y é constante, logo \dfrac{\partial}{\partial x}(-x y) = -y.
  • Para -y^{4}-9: são constantes em relação a x, derivada zero.
Somando as contribuições:
F_x(x,y) = -2\sin(2x)\sin(3y) - y.

Passo 5

Cálculo de F_y (derivada parcial de F em relação a y, tratando x como constante):
  • Para \cos(2x)\sin(3y): \cos(2x) é constante em relação a y, e \dfrac{\partial}{\partial y}\sin(3y)=\cos(3y)\cdot 3 = 3\cos(3y). Então
\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos(2x)\sin(3y)\big) = 3\cos(2x)\cos(3y).
  • Para -x y: x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}(-x y) = -x.
  • Para -y^{4}: \dfrac{\partial}{\partial y}(-y^{4}) = -4y^{3}.
  • Para -9: derivada zero.
Somando:
F_y(x,y) = 3\cos(2x)\cos(3y) - x - 4y^{3}.

Passo 6

Agora substituímos na fórmula \dfrac{d x}{d y} = -\dfrac{F_y}{F_x}. Temos
\frac{d x}{d y} = -\frac{3\cos(2x)\cos(3y) - x - 4y^{3}}{-2\sin(2x)\sin(3y) - y}.
Podemos simplificar o sinal multiplicando numerador e denominador por -1, obtendo uma forma um pouco mais limpa:
\frac{d x}{d y} = \frac{x + 4y^{3} - 3\cos(2x)\cos(3y)}{2\sin(2x)\sin(3y) + y}.
Lembre-se: essa expressão vale nos pontos (x,y) que satisfazem a equação original e onde o denominador 2\sin(2x)\sin(3y)+y (que é -F_x) é diferente de zero; caso contrário a hipótese do teorema da função implícita falha e não garantimos uma função x(y).

Resposta

\frac{d x}{d y}=\frac{x+4y^{3}-3\cos(2x)\cos(3y)}{2\sin(2x)\sin(3y)+y}

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