Questão 4: Nos itens a seguir, obtenha
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado
. - As variáveis
são funções de : - O pedido: obter
e .
Informações relevantes que eu vou usar: as definições de
acima e o fato de que devo aplicar a regra da cadeia para funções compostas (porque
depende de
que por sua vez dependem de
).
Passo 2
Vamos explicar a ferramenta principal: a regra da cadeia para derivadas parciais.
Se
e
, então, por regra da cadeia,
O que isso significa na prática: primeiro eu calculo as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis internas
(tratando as outras como constantes), depois multiplico por como cada uma dessas variáveis muda com
ou com
, e somo tudo.
Vou também usar regras básicas de derivação:
- Regra da potência:
. - Regra do produto:
.
Mas aquié um monômio em , então é direto aplicar potência e produto simples.
Passo 3
Calcular
.
Escrevo
como
.
-
Derivando em relação a
(tratando constantes): Explicação: potênciadá , multiplicado por (constantes no momento). -
Derivando em relação a
(tratando constantes): Explicação:dá . -
Derivando em relação a
(tratando constantes): Explicação:dá .
Passo 4
Calcular as derivadas de
em relação a
e
.
Das definições:
-
: Explicação: ao derivar emtrato como constante; ao derivar em trato como constante. -
: -
:
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
passo a passo.
Usando a fórmula da cadeia:
Substituo as derivadas parciais que já calculei:
Agora simplifico termo a termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Logo
Posso fatorar para ficar mais compacto. Um fator comum conveniente é
. Fatorando:
Agora substituo
,
e
se eu quiser a expressão explicitamente em
. Substituindo
no fator comum e reagrupando dá (uma forma bem compacta):
onde
e
.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para
passo a passo.
Usando a fórmula:
Substituo:
Simplificando termo a termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Portanto
Fatorando um fator comum conveniente
:
Substituindo
e reorganizando, uma forma compacta é
onde novamente
e
.
Resposta
onde