Questão 4: Nos itens a seguir, obtenha \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t}.
z=\frac{x^{4} w^{2}}{y^{3}}, \quad x=s^{2} t, \quad y=3-s t, \quad w=7 s^{2}-10 t

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado z=\dfrac{x^{4}w^{2}}{y^{3}}.
  • As variáveis x,y,w são funções de s,t: x=s^{2}t,\qquad y=3-st,\qquad w=7s^{2}-10t.
  • O pedido: obter \dfrac{\partial z}{\partial s} e \dfrac{\partial z}{\partial t}.
Informações relevantes que eu vou usar: as definições de z,x,y,w acima e o fato de que devo aplicar a regra da cadeia para funções compostas (porque z depende de x,y,w que por sua vez dependem de s,t).

Passo 2

Vamos explicar a ferramenta principal: a regra da cadeia para derivadas parciais.
Se z=z(x,y,w) e x=x(s,t),\,y=y(s,t),\,w=w(s,t), então, por regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial s}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial t}.
O que isso significa na prática: primeiro eu calculo as derivadas parciais de z em relação às suas variáveis internas x,y,w (tratando as outras como constantes), depois multiplico por como cada uma dessas variáveis muda com s ou com t, e somo tudo.
Vou também usar regras básicas de derivação:
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx} x^{n}=n x^{n-1}.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'.
    Mas aqui z é um monômio em x,w,y^{-1}, então é direto aplicar potência e produto simples.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x},\\ \dfrac{\partial z}{\partial y},\\ \dfrac{\partial z}{\partial w}.
Escrevo z como z=x^{4}w^{2}y^{-3}.
  • Derivando em relação a x (tratando w,y constantes):
    \frac{\partial z}{\partial x}=4x^{3}w^{2}y^{-3}.
    Explicação: potência x^{4} 4x^{3}, multiplicado por w^{2}y^{-3} (constantes no momento).
  • Derivando em relação a y (tratando x,w constantes):
    \frac{\partial z}{\partial y}=x^{4}w^{2}\cdot(-3)y^{-4}=-3x^{4}w^{2}y^{-4}.
    Explicação: y^{-3} -3y^{-4}.
  • Derivando em relação a w (tratando x,y constantes):
    \frac{\partial z}{\partial w}=x^{4}\cdot 2w\cdot y^{-3}=2x^{4}wy^{-3}.
    Explicação: w^{2} 2w.

Passo 4

Calcular as derivadas de x,y,w em relação a s e t.
Das definições:
  • x=s^{2}t:
    \frac{\partial x}{\partial s}=2st,\qquad \frac{\partial x}{\partial t}=s^{2}.
    Explicação: ao derivar em s trato t como constante; ao derivar em t trato s como constante.
  • y=3-st:
    \frac{\partial y}{\partial s}=-t,\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=-s.
  • w=7s^{2}-10t:
    \frac{\partial w}{\partial s}=14s,\qquad \frac{\partial w}{\partial t}=-10.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial z}{\partial s} passo a passo.
Usando a fórmula da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial s}.
Substituo as derivadas parciais que já calculei:
\frac{\partial z}{\partial s} = \big(4x^{3}w^{2}y^{-3}\big)\cdot(2st) + \big(-3x^{4}w^{2}y^{-4}\big)\cdot(-t) + \big(2x^{4}wy^{-3}\big)\cdot(14s).
Agora simplifico termo a termo:
  • Primeiro termo: 4x^{3}w^{2}y^{-3}\cdot 2st = 8 s t\, x^{3}w^{2}y^{-3}.
  • Segundo termo: -3x^{4}w^{2}y^{-4}\cdot(-t)=3 t\, x^{4}w^{2}y^{-4}.
  • Terceiro termo: 2x^{4}wy^{-3}\cdot 14s = 28 s\, x^{4}w y^{-3}.
Logo
\frac{\partial z}{\partial s} =8 s t\, x^{3}w^{2}y^{-3} + 3 t\, x^{4}w^{2}y^{-4} + 28 s\, x^{4}w y^{-3}.
Posso fatorar para ficar mais compacto. Um fator comum conveniente é x^{3}w y^{-4}. Fatorando:
\frac{\partial z}{\partial s} = x^{3}w y^{-4}\big(8 s t\, w y + 3 t\, x w + 28 s\, x y\big).
Agora substituo x=s^{2}t, y=3-st e w=7s^{2}-10t se eu quiser a expressão explicitamente em s,t. Substituindo x=s^{2}t no fator comum e reagrupando dá (uma forma bem compacta):
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{s^{7}t^{4}\,w}{y^{4}}\big(8w y + 3 s t\, w + 28 s^{2}y\big),
onde y=3-st e w=7s^{2}-10t.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial t} passo a passo.
Usando a fórmula:
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial t}.
Substituo:
\frac{\partial z}{\partial t} = \big(4x^{3}w^{2}y^{-3}\big)\cdot(s^{2}) + \big(-3x^{4}w^{2}y^{-4}\big)\cdot(-s) + \big(2x^{4}wy^{-3}\big)\cdot(-10).
Simplificando termo a termo:
  • Primeiro termo: 4x^{3}w^{2}y^{-3}\cdot s^{2} = 4 s^{2} x^{3}w^{2}y^{-3}.
  • Segundo termo: -3x^{4}w^{2}y^{-4}\cdot(-s) = 3 s\, x^{4}w^{2}y^{-4}.
  • Terceiro termo: 2x^{4}wy^{-3}\cdot(-10) = -20 x^{4}w y^{-3}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial t} =4 s^{2} x^{3}w^{2}y^{-3} + 3 s\, x^{4}w^{2}y^{-4} - 20 x^{4}w y^{-3}.
Fatorando um fator comum conveniente x^{3}w y^{-4}:
\frac{\partial z}{\partial t} = x^{3}w y^{-4}\big(4 s^{2} w y + 3 s\, x w - 20 x y\big).
Substituindo x=s^{2}t e reorganizando, uma forma compacta é
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{s^{8}t^{3}\,w}{y^{4}}\big(4 w y + 3 s t\, w - 20 t\, y\big),
onde novamente y=3-st e w=7s^{2}-10t.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{s^{7}t^{4}\,w}{y^{4}}\big(8w y + 3 s t\, w + 28 s^{2}y\big),
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{s^{8}t^{3}\,w}{y^{4}}\big(4 w y + 3 s t\, w - 20 t\, y\big),
onde \;x=s^{2}t,\;y=3-st,\;w=7s^{2}-10t.

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