Questão 1. Nos itens a seguir, verifique que \operatorname{det}(k A)=k^{n} \operatorname{det}(A), sendo n a ordem da matriz dada:
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\\\ 3 & 4 & 1 \\\\ 1 & 4 & 5\end{array}\right] \quad k=-2

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade
\det(kA) = k^n \det(A),
onde A é uma matriz 3\times3 (logo n=3) e k=-2. Vamos precisar calcular \det(A) pelo método de Sarrus e depois \det(kA) diretamente, para comparar com (-2)^3\det(A).

Passo 2

Calculemos primeiro
\det(A),
para
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\\\ 3 & 4 & 1\\\\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}.
Pela regra de Sarrus, com a=2, b=-1, c=3, d=3, e=4, f=1, g=1, h=4, i=5, temos
\det(A)=a\,e\,i + b\,f\,g + c\,d\,h \;-\; (c\,e\,g + b\,d\,i + a\,f\,h).
Substituindo,
a\,e\,i = 2\cdot4\cdot5 = 40,\quad b\,f\,g = (-1)\cdot1\cdot1 = -1,\quad c\,d\,h = 3\cdot3\cdot4 = 36,
c\,e\,g = 3\cdot4\cdot1 = 12,\quad b\,d\,i = (-1)\cdot3\cdot5 = -15,\quad a\,f\,h = 2\cdot1\cdot4 = 8.
Logo,
\det(A) = (40 - 1 + 36) \;-\; (12 - 15 + 8) = 75 - 5 = 70.

Passo 3

Formemos a matriz kA multiplicando cada entrada de A por -2:
kA = -2\cdot A = \begin{pmatrix} -4 & 2 & -6\\\\ -6 & -8 & -2\\\\ -2 & -8 & -10 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculemos agora
\det(kA).
Usando novamente Sarrus com
a'=-4,\;b'=2,\;c'=-6,\;d'=-6,\;e'=-8,\;f'=-2,\;g'=-2,\;h'=-8,\;i'=-10,
temos
a'e'i' = -4\cdot(-8)\cdot(-10) = -320,\quad b'f'g' = 2\cdot(-2)\cdot(-2) = 8,\quad c'd'h' = -6\cdot(-6)\cdot(-8) = -288,
c'e'g' = -6\cdot(-8)\cdot(-2) = -96,\quad b'd'i' = 2\cdot(-6)\cdot(-10) = 120,\quad a'f'h' = -4\cdot(-2)\cdot(-8) = -64.
Portanto,
\det(kA) = (-320 + 8 - 288)\;-\;(-96 + 120 - 64) = -600 - (-40) = -560.

Passo 5

Calculemos (-2)^3 \det(A):
(-2)^3 \det(A) = -8 \cdot 70 = -560.

Resposta

\det(A)=70, \det(kA)=-560 e de fato
\det(kA) = (-2)^3 \det(A).

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