Questão 5. Uma janela normanda consiste em um retângulo com um semicírculo em cima. O perímetro total da janela (contorno exterior) é fixo e igual a P. Determine as dimensões (largura da base e altura da parte retangular) que maximizam a área da janela, permitindo a entrada máxima de luz.

Passo 1

O enunciado dá uma janela formada por um retângulo com, em cima, um semicírculo cujo diâmetro coincide com a largura da base do retângulo. O perímetro total do contorno exterior da janela é fixo e igual a P. O que se pede é: determinar as dimensões que maximizam a área da janela, ou seja, encontrar a largura da base e a altura da parte retangular que tornam a área máxima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A largura da base será chamada de w.
  • A altura da parte retangular será chamada de h.
  • O semicírculo tem diâmetro igual a w, portanto o raio do semicírculo é r=\dfrac{w}{2}.
  • O perímetro exterior é fixo e vale P.
  • A área total da janela é a soma da área do retângulo e da área do semicírculo.
  • Objetivo: maximizar a área total sob a restrição de perímetro fixo P.

Passo 2

Definir fórmulas básicas (aulas rápidas e necessárias):
  • Área do retângulo: a base vezes a altura. Ou seja, a área do retângulo é \;w\cdot h\;.
  • Área do semicírculo: é metade da área do círculo de raio r. A área do círculo é \pi r^{2}, logo a área do semicírculo é \dfrac{1}{2}\pi r^{2}.
  • Comprimento do arco do semicírculo: é metade da circunferência do círculo de raio r, isto é \dfrac{1}{2}\cdot 2\pi r=\pi r.
  • A altura do retângulo e a largura w são as incógnitas que vamos determinar.
Lembrete: sempre que eu escrever r, lembre que r=\dfrac{w}{2}.

Passo 3

Montar expressões para área e perímetro em termos de w e h.
Área total A da janela:
A = \text{área do retângulo} + \text{área do semicírculo}áâáí
A = w h + \frac{1}{2}\pi r^{2}.
Substituindo r=\dfrac{w}{2}:
A = w h + \frac{1}{2}\pi\left(\frac{w}{2}\right)^{2} = w h + \frac{\pi}{8}w^{2}.
Perímetro total P: o contorno exterior inclui a base inferior do retângulo (comprimento w), as duas laterais verticais (cada uma de comprimento h) e o arco do semicírculo (comprimento \pi r). A parte superior reta do retângulo não faz parte do contorno porque foi substituída pelo semicírculo. Logo:
P = w + 2h + \pi r.
Substituindo r=\dfrac{w}{2}:
P = w + 2h + \pi\left(\frac{w}{2}\right) = w + 2h + \frac{\pi}{2}w = \left(1+\frac{\pi}{2}\right)w + 2h.

Passo 4

Isolar h pela condição de perímetro fixo (assim reduzimos o problema a uma variável).
Da expressão do perímetro:
P = \left(1+\frac{\pi}{2}\right)w + 2h.
Isolando h:
2h = P - \left(1+\frac{\pi}{2}\right)w \qquad\Rightarrow\qquad h = \frac{P - \left(1+\frac{\pi}{2}\right)w}{2}.
Explicação rápida: isso significa que, para qualquer escolha de w, a altura h é forçada pela restrição do perímetro. Vamos substituir essa h na área para obter A como função de w somente.

Passo 5

Substituir h na expressão da área e obter A(w).
A(w) = w\cdot\left(\frac{P - \left(1+\frac{\pi}{2}\right)w}{2}\right) + \frac{\pi}{8}w^{2}.
Desenvolvendo e simplificando passo a passo:
A(w) = \frac{P w}{2} - \frac{1}{2}\left(1+\frac{\pi}{2}\right)w^{2} + \frac{\pi}{8}w^{2}.
Calcular o coeficiente de w^{2}:
-\frac{1}{2}\left(1+\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{8} = -\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{8} = -\frac{1}{2} - \frac{\pi}{8}.
Portanto
A(w) = \frac{P w}{2} - \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8}\right) w^{2}.
Outra escrita conveniente é
A(w) = \frac{P w}{2} - \frac{4+\pi}{8}\, w^{2},
pois \dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{4+\pi}{8}.

Passo 6

Encontrar o valor de w que maximiza A(w) usando derivada.
Derivar A(w) em relação a w:
A'(w) = \frac{P}{2} - 2\cdot\frac{4+\pi}{8}\, w = \frac{P}{2} - \frac{4+\pi}{4}\, w.
Anular a derivada para achar pontos críticos:
\frac{P}{2} - \frac{4+\pi}{4}\, w = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{4+\pi}{4}\, w = \frac{P}{2}.
Isolando w:
w = \frac{P}{2}\cdot\frac{4}{4+\pi} = \frac{2P}{4+\pi}.
Explicando: esse w é o candidato a maximizar a área. Ainda falta verificar que é máximo (segunda derivada negativa).

Passo 7

Verificação que é máximo e cálculo de h correspondente.
Segunda derivada:
A''(w) = - \frac{4+\pi}{4},
que é claramente negativo (pois 4+\pi>0). Logo a função A(w) é côncava e o ponto crítico encontrado é um máximo global para w>0.
Agora calcular h usando a relação encontrada no Passo 4. Substituindo w=\dfrac{2P}{4+\pi} em
h = \frac{P - \left(1+\frac{\pi}{2}\right)w}{2},
fazemos os passos com cuidado:
\left(1+\frac{\pi}{2}\right)w = \frac{2+\pi}{2}\cdot\frac{2P}{4+\pi} = \frac{P(2+\pi)}{4+\pi}.
Logo
h = \frac{1}{2}\left(P - \frac{P(2+\pi)}{4+\pi}\right) = \frac{P}{2}\left(\frac{4+\pi - (2+\pi)}{4+\pi}\right) = \frac{P}{2}\cdot\frac{2}{4+\pi} = \frac{P}{4+\pi}.
Observação bonita: compara-se w e h:
w = \frac{2P}{4+\pi},\qquad h=\frac{P}{4+\pi},
portanto w = 2h. Isso significa que a largura ótima é o dobro da altura do retângulo. Além disso, o raio do semicírculo r=\dfrac{w}{2} resulta em r=h: a altura do retângulo é igual ao raio do semicírculo na configuração ótima.

Passo 8

Interpretação prática e dica para a prova (curtir o resultado e saber apresentá-lo):
  • Resultado fechado em termos de P é elegante e fácil de memorizar: a largura ótima é \dfrac{2P}{4+\pi} e a altura ótima é \dfrac{P}{4+\pi}.
  • No exame, proceda exatamente assim: escreva as expressões de área e perímetro, elimine uma variável com a restrição, optimize uma variável usando derivada, verifique via segunda derivada. Mostre claramente que A''(w)<0 para concluir máximo.
  • Nota geométrica: a condição ótima dá h=r, ou seja, a parte retangular tem altura igual ao raio do semicírculo; é uma relação que pode ajudar a relembrar a resposta.

Resposta

Largura da base: w=\dfrac{2P}{4+\pi}
Altura da parte retangular: h=\dfrac{P}{4+\pi}

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