Questão 5. Uma janela normanda consiste em um retângulo com um semicírculo em cima. O perímetro total da janela (contorno exterior) é fixo e igual a
. Determine as dimensões (largura da base e altura da parte retangular) que maximizam a área da janela, permitindo a entrada máxima de luz.
Passo 1
O enunciado dá uma janela formada por um retângulo com, em cima, um semicírculo cujo diâmetro coincide com a largura da base do retângulo. O perímetro total do contorno exterior da janela é fixo e igual a
. O que se pede é: determinar as dimensões que maximizam a área da janela, ou seja, encontrar a largura da base e a altura da parte retangular que tornam a área máxima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A largura da base será chamada de
. - A altura da parte retangular será chamada de
. - O semicírculo tem diâmetro igual a
, portanto o raio do semicírculo é . - O perímetro exterior é fixo e vale
. - A área total da janela é a soma da área do retângulo e da área do semicírculo.
- Objetivo: maximizar a área total sob a restrição de perímetro fixo
.
Passo 2
Definir fórmulas básicas (aulas rápidas e necessárias):
- Área do retângulo: a base vezes a altura. Ou seja, a área do retângulo é
. - Área do semicírculo: é metade da área do círculo de raio
. A área do círculo é , logo a área do semicírculo é . - Comprimento do arco do semicírculo: é metade da circunferência do círculo de raio
, isto é . - A altura do retângulo e a largura
são as incógnitas que vamos determinar.
Lembrete: sempre que eu escrever
, lembre que
.
Passo 3
Montar expressões para área e perímetro em termos de
e
.
Área total
da janela:
Substituindo
:
Perímetro total
: o contorno exterior inclui a base inferior do retângulo (comprimento
), as duas laterais verticais (cada uma de comprimento
) e o arco do semicírculo (comprimento
). A parte superior reta do retângulo não faz parte do contorno porque foi substituída pelo semicírculo. Logo:
Substituindo
:
Passo 4
Isolar
pela condição de perímetro fixo (assim reduzimos o problema a uma variável).
Da expressão do perímetro:
Isolando
:
Explicação rápida: isso significa que, para qualquer escolha de
, a altura
é forçada pela restrição do perímetro. Vamos substituir essa
na área para obter
como função de
somente.
Passo 5
Substituir
na expressão da área e obter
.
Desenvolvendo e simplificando passo a passo:
Calcular o coeficiente de
:
Portanto
Outra escrita conveniente é
pois
.
Passo 6
Encontrar o valor de
que maximiza
usando derivada.
Derivar
em relação a
:
Anular a derivada para achar pontos críticos:
Isolando
:
Explicando: esse
é o candidato a maximizar a área. Ainda falta verificar que é máximo (segunda derivada negativa).
Passo 7
Verificação que é máximo e cálculo de
correspondente.
Segunda derivada:
que é claramente negativo (pois
). Logo a função
é côncava e o ponto crítico encontrado é um máximo global para
.
Agora calcular
usando a relação encontrada no Passo 4. Substituindo
em
fazemos os passos com cuidado:
Logo
Observação bonita: compara-se
e
:
portanto
. Isso significa que a largura ótima é o dobro da altura do retângulo. Além disso, o raio do semicírculo
resulta em
: a altura do retângulo é igual ao raio do semicírculo na configuração ótima.
Passo 8
Interpretação prática e dica para a prova (curtir o resultado e saber apresentá-lo):
- Resultado fechado em termos de
é elegante e fácil de memorizar: a largura ótima é e a altura ótima é . - No exame, proceda exatamente assim: escreva as expressões de área e perímetro, elimine uma variável com a restrição, optimize uma variável usando derivada, verifique via segunda derivada. Mostre claramente que
para concluir máximo. - Nota geométrica: a condição ótima dá
, ou seja, a parte retangular tem altura igual ao raio do semicírculo; é uma relação que pode ajudar a relembrar a resposta.
Resposta
Largura da base:
Altura da parte retangular: