Questão 1. Utilize o Teorema do Valor Médio para demonstrar a seguinte desigualdade, válida para todo x>0 :
\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x
[Sugestão: Aplique o teorema à função f(t)=\ln (1+t) no intervalo [0, x].]

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, para todo x>0, a desigualdade
\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x.
As informações dadas são:
  • devemos usar o Teorema do Valor Médio (TVM);
  • a sugestão é aplicar o TVM à função f(t)=\ln(1+t) no intervalo [0,x].
    Nada mais é dado; o objetivo é provar as duas desigualdades simultaneamente para qualquer x>0.

Passo 2

Vou lembrar o Teorema do Valor Médio (TVM) de forma curta e clara. O TVM diz:
se uma função f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Agora verifico as hipóteses para f(t)=\ln(1+t) no intervalo [0,x] com x>0.
  • A função t\mapsto\ln(1+t) é contínua em [0,x] (logaritmo bem definido e contínuo para 1+t>0).
  • É diferenciável em (0,x).
    Portanto as hipóteses do TVM estão satisfeitas.

Passo 3

Calculo a derivada de f. Para t em (0,x),
f'(t)=\frac{d}{dt}\ln(1+t)=\frac{1}{1+t}.
Pelo TVM, existe c\in(0,x) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}.
Como f(0)=\ln 1=0, isso dá
\frac{1}{1+c}=\frac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 4

Reescrevendo a igualdade obtida:
\ln(1+x)=\frac{x}{1+c},
com c\in(0,x). Agora uso a posição de c para comparar 1+c com 1 e com 1+x. Como 0<c<x, segue
1<1+c<1+x.
Como todos esses números são positivos, ao tomar recíprocos a desigualdade inverte a ordem:
\frac{1}{1+x}<\frac{1}{1+c}<1.
Multiplicando toda a cadeia por x>0 (multiplicação por número positivo preserva desigualdades) obtemos
\frac{x}{1+x}<\frac{x}{1+c}<x.
Mas \dfrac{x}{1+c}=\ln(1+x), logo
\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 5

Comentário adicional curto para fixar a intuição: o TVM disse que a taxa média de variação de \ln(1+t) em [0,x] é igual à derivada em algum ponto interior; a derivada tem forma 1/(1+t), que varia entre 1/(1+x) e 1 quando t vai de 0 a x. Isso produz imediatamente as duas desigualdades pedidas.

Resposta

\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x

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