Questão 1. Utilize o Teorema do Valor Médio para demonstrar a seguinte desigualdade, válida para todo
:
[Sugestão: Aplique o teorema à função
no intervalo
.]
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, para todo
, a desigualdade
As informações dadas são:
- devemos usar o Teorema do Valor Médio (TVM);
- a sugestão é aplicar o TVM à função
no intervalo .
Nada mais é dado; o objetivo é provar as duas desigualdades simultaneamente para qualquer.
Passo 2
Vou lembrar o Teorema do Valor Médio (TVM) de forma curta e clara. O TVM diz:
se uma função é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
se uma função
Agora verifico as hipóteses para
no intervalo
com
.
- A função
é contínua em (logaritmo bem definido e contínuo para ). - É diferenciável em
.
Portanto as hipóteses do TVM estão satisfeitas.
Passo 3
Calculo a derivada de
. Para
em
,
Pelo TVM, existe
tal que
Como
, isso dá
Passo 4
Reescrevendo a igualdade obtida:
com
. Agora uso a posição de
para comparar
com
e com
. Como
, segue
Como todos esses números são positivos, ao tomar recíprocos a desigualdade inverte a ordem:
Multiplicando toda a cadeia por
(multiplicação por número positivo preserva desigualdades) obtemos
Mas
, logo
que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Passo 5
Comentário adicional curto para fixar a intuição: o TVM disse que a taxa média de variação de
em
é igual à derivada em algum ponto interior; a derivada tem forma
, que varia entre
e
quando
vai de
a
. Isso produz imediatamente as duas desigualdades pedidas.