Sejam
números reais. Prove que existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá dois números reais
e pede para provar que existe um número irracional
(ou seja,
) tal que
.
Informações relevantes fornecidas:
-
e são números reais com . -
representa o conjunto dos números irracionais. - O objetivo é mostrar a existência (construir um exemplo) de um
com .
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): a ideia clássica é usar que os números racionais são densos em
(ou seja, entre quaisquer dois reais existe um racional) e então deslocar um racional por uma constante irracional para obter um irracional dentro do intervalo
. Vou primeiro provar a densidade dos racionais numa forma conveniente e depois usar uma constante irracional conhecida, por exemplo
.
Antes de usar a densidade, explico um conceito que vou usar: a propriedade arquimediana (uma propriedade básica dos reais).
- Propriedade arquimediana (forma que usaremos): para todo número real positivo
existe um inteiro tal que .
Intuição: não existe um número real positivo tão pequeno que seja menor ou igual a todos os; podemos tomar grande o suficiente para que fique menor que . Essa propriedade é um fato padrão sobre que permite construir racionais arbitrariamente finos.
Passo 3
Prova detalhada da densidade dos racionais (construir um racional entre
e
).
Queremos mostrar: existe
e
tais que
Pelo que foi dito, escolha
tal que
Isto é possível pela propriedade arquimediana (pegue
).
Agora considere
. Tome o inteiro
ou seja,
é o menor inteiro estritamente maior que
. Pela definição do piso temos
Dividindo tudo por
obtemos
Da primeira desigualdade
já conseguimos a desigualdade à esquerda que queremos. Para a desigualdade à direita, usamos que
, então
Como escolhemos
com
, segue
Portanto
Assim provamos que existe um racional
dentro de
. Isso demonstra a densidade dos racionais de forma construtiva.
Passo 4
Agora use um deslocamento por uma constante irracional.
Considere a constante irracional
(sabe-se que
é irracional; se precisar, isso pode ser provado por um argumento clássico por contradição). Observe o intervalo
Como
, pela densidade dos racionais que acabamos de provar existe um racional
tal que
Passo 5
Defina agora
Vou verificar duas coisas: (1) que
está em
e (2) que
é irracional.
Para (1): somando
a cada termo da desigualdade
obtemos
ou seja,
Passo 6
Provar que
é irracional. Mostro isso por contradição simples usando propriedades de racionais e irracionais.
Proposição usada: a soma de um racional com um irracional é irracional. Prova rápida: suponha
e
e que
. Então
é diferença de dois racionais, logo seria racional, contradição se
for irracional. Aplicando isso aqui:
e
é irracional, então
não pode ser racional. Logo
é irracional, ou seja,
.
Passo 7
Conclusão: construímos explicitamente
com
apropriado, que satisfaz
e
. Assim, entre quaisquer
existe um número irracional.
Resposta
Existe
com
(pela densidade dos racionais) e então
satisfaz
.