Sejam a<b números reais. Prove que existe i \in \mathbb{I} tal que a<\mathbb{I}<b.

Passo 1

O enunciado dá dois números reais a<b e pede para provar que existe um número irracional i (ou seja, i\in\mathbb{I}) tal que a<i<b.
Informações relevantes fornecidas:
  • a e b são números reais com a<b.
  • \mathbb{I} representa o conjunto dos números irracionais.
  • O objetivo é mostrar a existência (construir um exemplo) de um i\in\mathbb{I} com a<i<b.

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): a ideia clássica é usar que os números racionais são densos em \mathbb{R} (ou seja, entre quaisquer dois reais existe um racional) e então deslocar um racional por uma constante irracional para obter um irracional dentro do intervalo (a,b). Vou primeiro provar a densidade dos racionais numa forma conveniente e depois usar uma constante irracional conhecida, por exemplo \sqrt{2}.
Antes de usar a densidade, explico um conceito que vou usar: a propriedade arquimediana (uma propriedade básica dos reais).
  • Propriedade arquimediana (forma que usaremos): para todo número real positivo x>0 existe um inteiro n\in\mathbb{N} tal que \dfrac{1}{n}<x.
    Intuição: não existe um número real positivo tão pequeno que seja menor ou igual a todos os 1/n; podemos tomar n grande o suficiente para que 1/n fique menor que x. Essa propriedade é um fato padrão sobre \mathbb{R} que permite construir racionais arbitrariamente finos.

Passo 3

Prova detalhada da densidade dos racionais (construir um racional entre a e b).
Queremos mostrar: existe m\in\mathbb{Z} e n\in\mathbb{N} tais que
a<\frac{m}{n}<b.
Pelo que foi dito, escolha n\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{n}<b-a.
Isto é possível pela propriedade arquimediana (pegue n>\dfrac{1}{b-a}).
Agora considere na. Tome o inteiro
m=\lfloor na\rfloor + 1,
ou seja, m é o menor inteiro estritamente maior que na. Pela definição do piso temos
m-1 \le na < m.
Dividindo tudo por n obtemos
\frac{m-1}{n} \le a < \frac{m}{n}.
Da primeira desigualdade a<\dfrac{m}{n} já conseguimos a desigualdade à esquerda que queremos. Para a desigualdade à direita, usamos que m\le na+1, então
\frac{m}{n} \le a + \frac{1}{n}.
Como escolhemos n com \dfrac{1}{n}<b-a, segue
\frac{m}{n} \le a + \frac{1}{n} < a + (b-a) = b.
Portanto
a<\frac{m}{n}<b.
Assim provamos que existe um racional \dfrac{m}{n}\in\mathbb{Q} dentro de (a,b). Isso demonstra a densidade dos racionais de forma construtiva.

Passo 4

Agora use um deslocamento por uma constante irracional.
Considere a constante irracional \sqrt{2} (sabe-se que \sqrt{2} é irracional; se precisar, isso pode ser provado por um argumento clássico por contradição). Observe o intervalo
\bigl(a-\sqrt{2},\,b-\sqrt{2}\bigr).
Como a-\sqrt{2}<b-\sqrt{2}, pela densidade dos racionais que acabamos de provar existe um racional q\in\mathbb{Q} tal que
a-\sqrt{2}<q<b-\sqrt{2}.

Passo 5

Defina agora
i = q + \sqrt{2}.
Vou verificar duas coisas: (1) que i está em (a,b) e (2) que i é irracional.
Para (1): somando \sqrt{2} a cada termo da desigualdade a-\sqrt{2}<q<b-\sqrt{2} obtemos
a < q + \sqrt{2} < b,
ou seja,
a<i<b.

Passo 6

Provar que i é irracional. Mostro isso por contradição simples usando propriedades de racionais e irracionais.
Proposição usada: a soma de um racional com um irracional é irracional. Prova rápida: suponha r\in\mathbb{Q} e x\in\mathbb{R} e que r+x\in\mathbb{Q}. Então x=(r+x)-r é diferença de dois racionais, logo seria racional, contradição se x for irracional. Aplicando isso aqui: q\in\mathbb{Q} e \sqrt{2} é irracional, então q+\sqrt{2} não pode ser racional. Logo i=q+\sqrt{2} é irracional, ou seja, i\in\mathbb{I}.

Passo 7

Conclusão: construímos explicitamente i=q+\sqrt{2} com q\in\mathbb{Q} apropriado, que satisfaz a<i<b e i\in\mathbb{I}. Assim, entre quaisquer a<b existe um número irracional.

Resposta

Existe q\in\mathbb{Q} com a-\sqrt{2}<q<b-\sqrt{2} (pela densidade dos racionais) e então i=q+\sqrt{2}\in\mathbb{I} satisfaz a<i<b.

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