Questão 9. João pretende comprar uma moto que à vista custa \mathrm{R} \ 28.000,00 , como ele não tem todo o dinheiro para pagar a moto, a empresa propôs que ele pagasseãô30 % do valor da moto à vista e o restante fosse financiado em 36 parcelas mensais iguais aà1.300,00 \mathrm{com} a primeira parcela wencendo um mês após a compra. Caso joão aceite a proposta dada pela empresa, quanto de juros João pagará, se o dinheiro rende ao bancoêóããá4 %$ a.m ?

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule quanto de juros João pagará se aceitar a proposta da empresa, sabendo que o dinheiro rende no banco 4\% ao mês. Dados fornecidos e perguntas claras:
  • Preço à vista da moto: \mathrm{R}\$\,28.000,00.
  • Entrada proposta: 30\% do valor da moto.
  • Restante financiado em 36 parcelas mensais iguais de \mathrm{R}\$\,1.300,00, com a primeira parcela vencendo um mês após a compra (ou seja, são prestações ao final de cada mês — anuidade imediata).
  • Taxa de rendimento (ou taxa de desconto / oportunidade): i=4\% ao mês.
    Pergunta explícita: “Caso João aceite a proposta dada pela empresa, quanto de juros João pagará, se o dinheiro rende ao banco 4\% a.m.?” (ou seja, considerar valor do dinheiro no tempo a 4\% a.m.).

Passo 2

Calculo a entrada e o valor financiado (dados simples que o enunciado dá):
  • Entrada (30% de \mathrm{R}\$\,28.000,00):
\text{entrada} = 0{,}30 \times 28.000 = \mathrm{R}\$\,8.400{,}00.
  • Valor que seria financiado (preço menos entrada):
\text{financiado} = 28.000 - 8.400 = \mathrm{R}\$\,19.600{,}00.
Também verifico o total nominal das parcelas:
\text{total das parcelas} = 36 \times 1.300 = \mathrm{R}\$\,46.800{,}00.
Observação rápida (apenas para organização): o total nominal pago ao longo do tempo seria 8.400 + 46.800 = \mathrm{R}\$\,55.200{,}00, mas isso não leva em conta o valor do dinheiro no tempo.

Passo 3

Explico o raciocínio financeiro que vamos usar (aula rápida e necessária): quando o problema diz que o dinheiro rende 4\% ao mês, isso significa que o valor das parcelas futuras deve ser trazido ao valor presente usando essa taxa para comparar corretamente com o preço à vista. Usamos o conceito de valor presente (PV) de uma anuidade (pagamentos iguais ao final de cada período).
A fórmula do valor presente de uma anuidade ordinária (pagamentos no fim de cada período) é
\text{PV} = \text{PMT}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
onde:
  • \text{PV} é o valor presente das parcelas (hoje),
  • \text{PMT} é o valor de cada parcela ( \mathrm{R}\$\,1.300{,}00),
  • i é a taxa por período em forma decimal ( 0{,}04 para 4\% a.m.),
  • n é o número de parcelas ( 36).
    Essa fórmula vem da soma das potências geométricas que representam cada parcela descontada até o momento presente.

Passo 4

Calculo o fator (1+i)^{-n} e o fator da anuidade. Primeiro obtenho (1+i)^{n} e depois o inverso:
  • 1+i = 1{,}04.
  • Calculo (1{,}04)^{36}. Multiplicando sucessivamente (ou usando uma calculadora), obtemos
(1{,}04)^{36} \approx 4{,}102345663775333.
Logo
(1{,}04)^{-36} = \frac{1}{(1{,}04)^{36}} \approx 0{,}243763.
Agora aplico na fórmula do fator da anuidade:
\frac{1-(1{,}04)^{-36}}{0{,}04} = \frac{1-0{,}243763}{0{,}04} \approx \frac{0{,}756237}{0{,}04} \approx 18{,}905925.

Passo 5

Calculo o valor presente das 36 parcelas usando a fórmula:
\text{PV das parcelas} = 1.300 \times 18{,}905925 \approx \mathrm{R}\$\,24.577{,}70.
Expliquei: isso significa que as 36 parcelas de \mathrm{R}\$\,1.300{,}00 valem hoje, descontadas a 4\% a.m., aproximadamente \mathrm{R}\$\,24.577{,}70.

Passo 6

Calculo o custo total, em valor presente, que João pagará se aceitar a proposta: soma da entrada (paga hoje) com o valor presente das parcelas:
\text{custo total (PV)} = \text{entrada} + \text{PV das parcelas} = 8.400 + 24.577{,}70 = \mathrm{R}\$\,32.977{,}70.

Passo 7

Interpretação final e cálculo do “juros” segundo a pergunta: como o preço à vista é \mathrm{R}\$\,28.000{,}00, o excesso que João está pagando (em termos de valor presente, considerando que seu dinheiro rende 4\% a.m.) é
\text{juros efetivos} = \text{custo total (PV)} - \text{preço à vista} = 32.977{,}70 - 28.000 = \mathrm{R}\$\,4.977{,}70.çà
Comentário amigo: isso significa que, avaliando o valor do dinheiro no tempo a 4\% ao mês, a operação de financiar dessa forma custa a João cerca de \mathrm{R}\$\,4.977{,}70 a mais do que pagar à vista hoje. (Se alguém só olhar os números nominais, verá que ele paga muito mais ao longo do tempo — nominalmente ele paga \mathrm{R}\$\,55.200{,}00 no total — mas o valor que importa quando o dinheiro rende a 4\% é esse aumento em valor presente.)

Resposta

\mathrm{R}\$\,4.977{,}70

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