Questão 9. João pretende comprar uma moto que à vista custa
28.000,00
30 %
1.300,00 \mathrm{com}
4 %$ a.m ?
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule quanto de juros João pagará se aceitar a proposta da empresa, sabendo que o dinheiro rende no banco
ao mês. Dados fornecidos e perguntas claras:
- Preço à vista da moto:
. - Entrada proposta:
do valor da moto. - Restante financiado em
parcelas mensais iguais de , com a primeira parcela vencendo um mês após a compra (ou seja, são prestações ao final de cada mês — anuidade imediata). - Taxa de rendimento (ou taxa de desconto / oportunidade):
ao mês.
Pergunta explícita: “Caso João aceite a proposta dada pela empresa, quanto de juros João pagará, se o dinheiro rende ao bancoa.m.?” (ou seja, considerar valor do dinheiro no tempo a a.m.).
Passo 2
Calculo a entrada e o valor financiado (dados simples que o enunciado dá):
- Entrada (30% de
):
- Valor que seria financiado (preço menos entrada):
Também verifico o total nominal das parcelas:
Observação rápida (apenas para organização): o total nominal pago ao longo do tempo seria
, mas isso não leva em conta o valor do dinheiro no tempo.
Passo 3
Explico o raciocínio financeiro que vamos usar (aula rápida e necessária): quando o problema diz que o dinheiro rende
ao mês, isso significa que o valor das parcelas futuras deve ser trazido ao valor presente usando essa taxa para comparar corretamente com o preço à vista. Usamos o conceito de valor presente (PV) de uma anuidade (pagamentos iguais ao final de cada período).
A fórmula do valor presente de uma anuidade ordinária (pagamentos no fim de cada período) é
onde:
-
é o valor presente das parcelas (hoje), -
é o valor de cada parcela ( ), -
é a taxa por período em forma decimal ( para a.m.), -
é o número de parcelas ( ).
Essa fórmula vem da soma das potências geométricas que representam cada parcela descontada até o momento presente.
Passo 4
Calculo o fator
e o fator da anuidade. Primeiro obtenho
e depois o inverso:
-
. - Calculo
. Multiplicando sucessivamente (ou usando uma calculadora), obtemos
Logo
Agora aplico na fórmula do fator da anuidade:
Passo 5
Calculo o valor presente das
parcelas usando a fórmula:
Expliquei: isso significa que as
parcelas de
valem hoje, descontadas a
a.m., aproximadamente
.
Passo 6
Calculo o custo total, em valor presente, que João pagará se aceitar a proposta: soma da entrada (paga hoje) com o valor presente das parcelas:
Passo 7
Interpretação final e cálculo do “juros” segundo a pergunta: como o preço à vista é
, o excesso que João está pagando (em termos de valor presente, considerando que seu dinheiro rende
a.m.) é
Comentário amigo: isso significa que, avaliando o valor do dinheiro no tempo a
ao mês, a operação de financiar dessa forma custa a João cerca de
a mais do que pagar à vista hoje. (Se alguém só olhar os números nominais, verá que ele paga muito mais ao longo do tempo — nominalmente ele paga
no total — mas o valor que importa quando o dinheiro rende a
é esse aumento em valor presente.)