Seja A=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 5 & -3\end{array}\right] uma matriz de ordem 2 .
(a) Obtenha o polinômio característico associado à matriz A. (1 pt)
(b) Calcule os autovalores de A .(1 \mathrm{pt})
(c) Obtenha os autoespaços associados aos autovalores de A .(1 \mathrm{pt})
(d) Diga por que A é diagonalizável e obtenha matrizes P e D tais que P^{-1} A P=D. (1 pt)
(e) Mostre que, de fato, P e D satisfazem P^{-1} A P=D. Dica: basta mostrar que A P=P D .(1 \mathrm{pt})

Passo 1

Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]5 & -3\end{pmatrix}.
Perguntas do enunciado (separei para ficar claro):
(a) Obter o polinômio característico associado a A.
(b) Calcular os autovalores de A.
(c) Obter os autoespaços (espaços próprios) associados aos autovalores.
(d) Dizer por que A é diagonalizável e fornecer matrizes P e D tais que P^{-1}AP=D.
(e) Mostrar que P e D satisfazem P^{-1}AP=D (dica: mostrar AP=PD).]

Passo 2

(a) Definição e cálculo do polinômio característico.
Explicação rápida: para uma matriz 2\times2 a fórmula do determinante é
\det\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix}=ad-bc.
O polinômio característico é p(\lambda)=\det(A-\lambda I), onde I é a identidade 2\times2. Primeiro escrevemos A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & -1\\[4pt]5 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
Agora o determinante:
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(-3-\lambda)-(-1)\cdot 5.
Faço a multiplicação passo a passo:
(3-\lambda)(-3-\lambda)=3(-3-\lambda)-\lambda(-3-\lambda)=-9-3\lambda+3\lambda+\lambda^2=\lambda^2-9.
Somando o termo vindo de -(-1)\cdot5=+5, obtemos
p(\lambda)=\lambda^2-9+5=\lambda^2-4.
Portanto o polinômio característico é
\boxed{p(\lambda)=\lambda^2-4.}]

Passo 3

(b) Autovalores: são as raízes do polinômio característico.
Resolvemos
\lambda^2-4=0.
Isto é uma diferença de quadrados, fatoramos:
\lambda^2-4=(\lambda-2)(\lambda+2).
Logo as raízes são \lambda=2 e \lambda=-2. Portanto os autovalores são
\boxed{\lambda=2\quad\text{e}\quad\lambda=-2.}

Passo 4

(c) Autoespaços: definição e método.
Explicação: o autoespaço associado a um autovalor [\lambda) é o conjunto de vetores não nulos v tais que Av=\lambda v. Equivalente resolver o sistema homogêneo (A-\lambda I)v=0. Vou resolver para cada autovalor.
Para \lambda=2:
A-2I=\begin{pmatrix}3-2 & -1\\[4pt]5 & -3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]5 & -5\end{pmatrix}.
Montamos o sistema (A-2I)\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=0, ou seja
\begin{cases} x - y = 0,\\[4pt] 5x - 5y = 0. \end{cases}
A segunda equação é 5\] vezes a primeira, então a restrição é \[x-y=0\Rightarrow x=y. Assim os vetores próprios são da forma t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, t\in\mathbb{R}. O autoespaço associado a \lambda=2 é
\boxed{E_{2}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.}
Para \lambda=-2:
A-(-2)I=A+2I=\begin{pmatrix}3+2 & -1\\[4pt]5 & -3+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & -1\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}.
Sistema (A+2I)\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=0:
\begin{cases} 5x - y = 0,\\[4pt] 5x - y = 0. \end{cases}
Ambas as equações são idênticas; a relação é y=5x\]. Então os vetores próprios são \(t\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}, t\in\mathbb{R}. O autoespaço associado a \lambda=-2 é
\boxed{E_{-2}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}\right\}.}]

Passo 5

(d) Diagonalizabilidade e escolha das matrizes P e D.
Explicação do critério: uma matriz n\times n é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por vetores próprios (ou seja, n autovetores linearmente independentes). No caso 2\times2, se conseguirmos dois autovetores linearmente independentes, A é diagonalizável.
Temos dois autovalores distintos \lambda=2 e \lambda=-2. Seus autoespaços têm vetores próprios \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}. Esses dois vetores não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes; formam uma base de \mathbb{R}^2. Assim A é diagonalizável.
Construo P usando como colunas os vetores próprios (na mesma ordem dos autovalores que colocarei em D). Escolho a ordem: primeiro \lambda=2, depois \lambda=-2. Então
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.
Verifico que P é invertível calculando seu determinante:
\det(P)=1\cdot 5-1\cdot 1=4\neq 0,
portanto P é invertível e a igualdade P^{-1}AP=D faz sentido. Assim, uma escolha válida é
\boxed{P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.}]

Passo 6

(e) Mostrar que P e D satisfazem P^{-1}AP=D mostrando AP=PD.
Estratégia: multiplicar A por cada coluna de P. Se v_1 e v_2 são colunas de P e Av_i=\lambda_i v_i, então AP=PD.
As colunas de P são v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} (autovetor de \lambda=2) e v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix} (autovetor de \lambda=-2). Calculo A v_1 e A v_2:
Para v_1:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot1+(-1)\cdot1\\[4pt]5\cdot1+(-3)\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=2v_1.
Para v_2:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot1+(-1)\cdot5\\[4pt]5\cdot1+(-3)\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-10\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}=-2v_2.
Juntando, isso significa que ao multiplicar A por P=[v_1\\ v_2] obtemos as colunas 2v_1 e -2v_2, ou seja
AP=\begin{pmatrix}2v_1 & -2v_2\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}=PD.
Como P é invertível, multiplico à esquerda por P^{-1} e obtenho
P^{-1}AP=D.
Isso conclui a verificação pedida.]

Resposta

(a) p(\lambda)=\lambda^2-4.
(b) \lambda=2 e \lambda=-2.
(c) E_{2}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\},\quad E_{-2}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}\right\}.
(d) A é diagonalizável (tem duas autovetores linearmente independentes). Uma escolha é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.
(e) De fato AP=PD (pois A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e A\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}), logo P^{-1}AP=D.]

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