Nino investiu R \ 500.000,00 num fundo que remunera à taxa deà24 %$ a.a pelo 8 anos e 5 meses. Quanto Nino terá de montante no final se usarmos:
a convenção exponencial ?

Passo 1

O enunciado diz que Nino aplicou P=R\$\,500.000,00 por um período de 8 anos e 5 meses à taxa de 24\% ao ano, e pede o montante final usando a convenção exponencial.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
P = R\$\,500.000,00,\qquad r = 24\% = 0{,}24\\ \text{a.a.},\qquad \text{tempo } = 8\\ \text{anos } + 5\\ \text{meses}.
A pergunta é: qual é o montante A ao final do período usando a convenção exponencial?

Passo 2

O que é a “convenção exponencial” (chamada também de capitalização contínua)? Vou explicar devagarinho. A ideia é que os juros são creditados continuamente, e isso leva à equação diferencial que descreve a variação do montante A(t) ao longo do tempo:
\frac{dA}{dt} = r\,A(t).
Aqui:
  • A(t) é o montante no tempo t (em anos);
  • r é a taxa anual em forma decimal ( 0{,}24 no nosso caso);
  • \frac{dA}{dt} é a taxa de variação instantânea do montante.
Resolver essa equação (separando variáveis e integrando) dá a solução padrão:
A(t)=P\,e^{rt}.
Isso é importante: com capitalização contínua o montante final é P multiplicado por e^{rt}. Vou usar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Converter o tempo em anos (porque r está em anos):
8\\ \text{anos }+5\\ \text{meses}=8+\frac{5}{12}\\ \text{anos}=\frac{96+5}{12}=\frac{101}{12}\\ \text{anos}.
Logo:
t=\frac{101}{12}\approx 8{,}416666\ldots

Passo 4

Calcular o expoente rt:
rt = 0{,}24\cdot \frac{101}{12}.
Faço a multiplicação com calma:
0{,}24\cdot\frac{101}{12}=\frac{0{,}24\cdot101}{12}=\frac{24{,}24}{12}=2{,}02.
Portanto o fator exponencial é e^{rt}=e^{2{,}02}.

Passo 5

Agora aplico a fórmula do montante:
A = P\,e^{rt} = R\$\,500.000,00\cdot e^{2{,}02}.
Para obter e^{2{,}02} eu uso a identidade e^{2{,}02}=e^{2}\cdot e^{0{,}02}. Sabemos (tabela ou cálculo) que
e^{2}\approx 7{,}389056099.
Para e^{0{,}02} podemos usar a expansão em série (suficiente para boa aproximação):
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots
com x=0{,}02:
e^{0{,}02}\approx 1+0{,}02+\frac{0{,}02^{2}}{2}+\frac{0{,}02^{3}}{6} =1+0{,}02+0{,}0002+0{,}000001333\approx 1{,}020201333.
Multiplicando:
e^{2{,}02}\approx 7{,}389056099\cdot 1{,}020201333\approx 7{,}538324219.
Finalmente:
A \approx R\$\,500.000,00\cdot 7{,}538324219 = R\$\,3.769.162{,}1095.
Arredondando para centavos:
A \approx R\$\,3.769.162{,}11.

Passo 6

Resumo do raciocínio para você levar pra prova: converta meses em anos, calcule rt, use A=P e^{rt}. Se precisar de aproximação de e^{x} com x pequeno, use a série 1+x+x^{2}/2+\cdots. Respira fundo — você conseguiu fazer a conta inteira com passos claros!

Resposta

R\$\,3.769.162{,}11

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