Nino investiu R
500.000,00
24 %$ a.a pelo 8 anos e 5 meses. Quanto Nino terá de montante no final se usarmos:
a convenção exponencial ?
a convenção exponencial ?
Passo 1
O enunciado diz que Nino aplicou
por um período de
anos e
meses à taxa de
ao ano, e pede o montante final usando a convenção exponencial.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Dados relevantes extraídos do enunciado:
A pergunta é: qual é o montante
ao final do período usando a convenção exponencial?
Passo 2
O que é a “convenção exponencial” (chamada também de capitalização contínua)? Vou explicar devagarinho. A ideia é que os juros são creditados continuamente, e isso leva à equação diferencial que descreve a variação do montante
ao longo do tempo:
Aqui:
-
é o montante no tempo (em anos); -
é a taxa anual em forma decimal ( no nosso caso); -
é a taxa de variação instantânea do montante.
Resolver essa equação (separando variáveis e integrando) dá a solução padrão:
Isso é importante: com capitalização contínua o montante final é
multiplicado por
. Vou usar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Converter o tempo em anos (porque
está em anos):
Logo:
Passo 4
Calcular o expoente
:
Faço a multiplicação com calma:
Portanto o fator exponencial é
.
Passo 5
Agora aplico a fórmula do montante:
Para obter
eu uso a identidade
. Sabemos (tabela ou cálculo) que
Para
podemos usar a expansão em série (suficiente para boa aproximação):
com
:
Multiplicando:
Finalmente:
Arredondando para centavos:
Passo 6
Resumo do raciocínio para você levar pra prova: converta meses em anos, calcule
, use
. Se precisar de aproximação de
com
pequeno, use a série
. Respira fundo — você conseguiu fazer a conta inteira com passos claros!