Questão 4: Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contraexemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
( ) (5 pontos) A superfície de equação
é um esfera de centro
e raio
.
( ) (5 pontos) A superfície de equação
Passo 1
O enunciado dá a superfície de equação
e afirma que ela é uma esfera de centro
e raio
. A tarefa é julgar essa afirmação como verdadeira ou falsa, justificando com argumento lógico ou contraexemplo. Vou então extrair as informações relevantes: a equação dada e o centro e raio que o enunciado afirma.
Passo 2
Ideia útil (como reconhecer uma esfera e encontrar seu centro/raio): a equação padrão de uma esfera é
onde
é o centro e
o raio. Para colocar uma equação geral na forma padrão usa-se completar o quadrado em
,
e
. Vou explicar completar o quadrado de forma bem didática com
por exemplo: se aparecer
, então
porque
. O termo constante compensatório é o
. Mesma ideia para
e
.
Passo 3
Primeiro simplifico a equação dividindo tudo por
(isso facilita completar quadrados):
Passo 4
Agora completo o quadrado em
. Reescrevo
como
Portanto a parte relativa a
transforma-se em
.
Passo 5
Faço o mesmo em
. Reescrevo
como
A parte relativa a
vira
.
Passo 6
Substituo as duas identidades na equação simplificada. Ainda há o termo
e o
constante original. Assim:
Somando as constantes
fica
Isolando os quadrados:
Passo 7
A equação está agora na forma padrão de esfera com centro
e raio dado por
Portanto o centro informado no enunciado,
, está correto, mas o raio correto é
, e não
.
Passo 8
Conclusão lógica (contraexemplo implícito): como o raio correto é
, a afirmação que o raio é
é falsa. Por exemplo, o ponto
é o centro; um ponto que estaria à distância
do centro (por exemplo
) não satisfaz a equação original, porque a equação exige distância ao centro igual a
. Isso é um contraexemplo que mostra a afirmação ser falsa.
Resposta
Falso