Questão 4: Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contraexemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
( ) (5 pontos) A superfície de equação 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-8 y-2=0 é um esfera de centro C=(1,2,0) e raio r=\sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado dá a superfície de equação
2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-4x-8y-2=0
e afirma que ela é uma esfera de centro C=(1,2,0) e raio r=\sqrt{2}. A tarefa é julgar essa afirmação como verdadeira ou falsa, justificando com argumento lógico ou contraexemplo. Vou então extrair as informações relevantes: a equação dada e o centro e raio que o enunciado afirma.

Passo 2

Ideia útil (como reconhecer uma esfera e encontrar seu centro/raio): a equação padrão de uma esfera é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2},
onde (a,b,c) é o centro e R o raio. Para colocar uma equação geral na forma padrão usa-se completar o quadrado em x, y e z. Vou explicar completar o quadrado de forma bem didática com x por exemplo: se aparecer x^{2}-2x, então
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,
porque (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1. O termo constante compensatório é o -1. Mesma ideia para y e z.

Passo 3

Primeiro simplifico a equação dividindo tudo por 2 (isso facilita completar quadrados):
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-1=0.

Passo 4

Agora completo o quadrado em x. Reescrevo x^{2}-2x como
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1.
Portanto a parte relativa a x transforma-se em (x-1)^{2}-1.

Passo 5

Faço o mesmo em y. Reescrevo y^{2}-4y como
y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4.
A parte relativa a y vira (y-2)^{2}-4.

Passo 6

Substituo as duas identidades na equação simplificada. Ainda há o termo z^{2} e o -1 constante original. Assim:
(x-1)^{2}-1 + (y-2)^{2}-4 + z^{2} -1 = 0.
Somando as constantes -1-4-1=-6 fica
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}-6=0.
Isolando os quadrados:
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}=6.

Passo 7

A equação está agora na forma padrão de esfera com centro (1,2,0) e raio dado por
R=\sqrt{6}.
Portanto o centro informado no enunciado, C=(1,2,0), está correto, mas o raio correto é R=\sqrt{6}, e não \sqrt{2}.

Passo 8

Conclusão lógica (contraexemplo implícito): como o raio correto é \sqrt{6}, a afirmação que o raio é \sqrt{2} é falsa. Por exemplo, o ponto (1,2,0) é o centro; um ponto que estaria à distância \sqrt{2} do centro (por exemplo (1+\sqrt{2},2,0)) não satisfaz a equação original, porque a equação exige distância ao centro igual a \sqrt{6}. Isso é um contraexemplo que mostra a afirmação ser falsa.

Resposta

Falso

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