Questão 3: Seja r a reta de equações paramétricas
r:\left\{\begin{array}{l} x=4-t \\\ y=-4+2 t, \quad t \in \mathbb{R} \\\ z=t \end{array}\right.
Considere \pi o plano de equação x-y+z=2.
(a) ( \mathbf{5} pontos) Verifique que a reta r e o plano \pi possuem um único ponto em comum, determinando tal ponto.
(b) ( \mathbf{1 0} pontos) Determine a equação de um plano \beta que é ortogonal a \pi e contém a reta r.
(c) ( \mathbf{1 0} pontos) Determine a interseção entre \pi e \beta.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r em forma paramétrica e o plano \pi em forma cartesiana. Vou listar claramente o que é fornecido e o que é pedido, sem resolver ainda.
Dados:
  • A reta r tem equações paramétricas
r:\left\{\begin{array}{l} x=4-t\\[4pt] y=-4+2t\\[4pt] z=t,\quad t\in\mathbb{R} \end{array}\right.
  • O plano \pi tem equação cartesiana
\pi:\;x-y+z=2.
O que o enunciado pede:
(a) Verificar que r e \pi possuem um único ponto em comum e determinar esse ponto.
(b) Determinar a equação de um plano \beta que seja ortogonal a \pi e contenha a reta r.
(c) Determinar a interseção entre \pi e \beta (isto é, a reta formada pela interseção desses dois planos).]

Passo 2

(a) Estratégia e cálculo do ponto de interseção (explicando a ideia):
Para testar se uma reta e um plano se intersectam, substitui-se as coordenadas paramétricas da reta na equação do plano e resolve-se para o parâmetro. Se obtivermos um único valor de parâmetro \,t, há exatamente um ponto de interseção; se a equação for verdadeira para todo t a reta está contida no plano; se não houver solução, a reta é paralela ao plano e não intersecta.
Substituindo x=4-t, y=-4+2t, z=t na equação de \pi:
x-y+z=(4-t)-(-4+2t)+t.
Agora simplifico passo a passo:
(4-t)-(-4+2t)+t = 4 - t +4 -2t + t.
Agrupando os termos em t:
4+4 + (-t -2t + t) = 8 + (-2t) = 8-2t.
A equação do plano exige x-y+z=2, logo
8-2t = 2.
Resolvo para t:
-2t = 2-8 = -6 \quad\Rightarrow\quad t=3.

Passo 3

(a) Determinar o ponto de interseção usando \,t=3:
Substituo \,t=3 nas paramétricas da reta:
x=4-t=4-3=1,
y=-4+2t=-4+2\cdot3=-4+6=2,
z=t=3.
Portanto o único ponto em comum é P=(1,2,3). (Comentário motivador: vimos que existia um único t, então há exatamente um ponto de interseção.)

Passo 4

(b) Método para obter a equação do plano \beta (explicando conceitos):
  • Um plano é determinado por um vetor normal n e um ponto P_0 nele; a equação é n\cdot (X-P_0)=0.
  • Para que \beta seja ortogonal a \pi, seu vetor normal n_\beta deve ser perpendicular ao vetor normal n_\pi do plano \pi.
  • Para que \beta contenha a reta r, o vetor diretor v_r de r deve ficar contido no plano \beta, ou seja, n_\beta deve ser perpendicular a v_r.
Vou obter explicitamente n_\pi e v_r:
  • A equação de \pi é x-y+z=2, logo o vetor normal de \pi é
n_\pi = (1,-1,1).
  • A reta r tem direção dada pelos coeficientes de t nas paramétricas: x=4-t,\;y=-4+2t,\;z=t. Assim o vetor diretor é
v_r = (-1,2,1).

Passo 5

(b) Determinar n_\beta e equação do plano \beta (cálculo):
Queremos n_\beta tal que
n_\beta\cdot n_\pi = 0\quad\text{e}\quad n_\beta\cdot v_r = 0.
Um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados é proporcional ao produto vetorial desses vetores. Assim posso tomar
n_\beta = n_\pi \times v_r.
Calculo o produto vetorial:
n_\beta = (1,-1,1)\times(-1,2,1).
Usando a fórmula do produto vetorial (explicando: componente i é a_2b_3-a_3b_2, etc.), obtenho
n_\beta = (-3,-2,1).
(Confere-se: n_\beta\cdot n_\pi = -3\cdot1 + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot1 = -3+2+1=0 e n_\beta\cdot v_r = -3(-1)+(-2)2+1\cdot1 = 3-4+1=0.)
Agora basta a equação do plano com esse normal que passe por um ponto da reta r. Posso usar o ponto de interseção P=(1,2,3) que já sabemos estar em r. A equação é
n_\beta\cdot (x-1,y-2,z-3)=0,
ou seja
(-3,-2,1)\cdot(x-1,y-2,z-3)=0.
Faço a expansão passo a passo:
-3(x-1)-2(y-2)+1(z-3)=0.
Simplificando:
-3x+3 -2y+4 + z -3 = 0.
Somando os termos constantes 3+4-3=4, fica
-3x-2y+z+4=0.
Multiplico por -1 (para ficar com coeficiente positivo no x):
3x+2y-z-4=0.
Assim uma equação conveniente para \beta é
\beta:\;3x+2y-z=4.

Passo 6

(b) Verificação rápida (para dar confiança):
  • Verifico que \beta é ortogonal a \pi: os normais são n_\beta=(3,2,-1) e n_\pi=(1,-1,1), e
n_\beta\cdot n_\pi = 3\cdot1 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot1 = 3-2-1=0,
logo são perpendiculares.
  • Verifico que \beta contém r: o vetor diretor v_r=(-1,2,1) satisfaz
n_\beta\cdot v_r = 3(-1)+2\cdot2 +(-1)\cdot1 = -3+4-1=0,
logo v_r está contido no plano \beta. Além disso P=(1,2,3) satisfaz 3\cdot1+2\cdot2-3=3+4-3=4, então P\in\beta. Portanto \beta contém a reta r.

Passo 7

(c) Interseção [\pi\cap\beta): ideia e método (explicando):
A interseção de dois planos distintos não paralelos é uma reta. Para encontrar essa reta, resolvemos simultaneamente o sistema formado pelas duas equações dos planos e paramos uma variável (ou resolvemos pelo método de eliminação).
Temos o sistema:
\begin{cases} x-y+z=2,\\[4pt] 3x+2y-z=4. \end{cases}
Somando as duas equações (para eliminar z\]): \[(x-y+z)+(3x+2y-z)=2+4 \quad\Rightarrow\quad 4x+y=6.\] Isolando \(y:
y = 6-4x.
Substituo na primeira equação para obter z em função de x:
x-(6-4x)+z = 2 \quad\Rightarrow\quad x-6+4x+z=2 \quad\Rightarrow\quad 5x+z=8.
Logo
z = 8-5x.]

Passo 8

(c) Parametrização da reta de interseção:
Posso tomar x como parâmetro, por exemplo x=s com s\in\mathbb{R}. Então
y = 6-4s,\qquad z = 8-5s.
Escrevendo em forma paramétrica com parâmetro s:
\pi\cap\beta:\qquad\left\{\begin{array}{l} x=s,\\[4pt] y=6-4s,\\[4pt] z=8-5s, \end{array}\right.\quad s\in\mathbb{R}.
Outra forma mais centrada no ponto P=(1,2,3) (que pertence à interseção, pois substituindo s=1 y=2,z=3) é escrever com parâmetro u=s-1:
\pi\cap\beta:\qquad\left\{\begin{array}{l} x=1+u,\\[4pt] y=2-4u,\\[4pt] z=3-5u, \end{array}\right.\quad u\in\mathbb{R},
ou, em vetor, ponto-direção:
\{(1,2,3)+u(1,-4,-5)\mid u\in\mathbb{R}\}.
O vetor diretor da reta de interseção é (1,-4,-5).]

Resposta

(a) O único ponto em comum é (1,2,3).
(b) Uma equação para \beta é 3x+2y-z=4.
(c) \pi\cap\beta é a reta dada por
\left\{\begin{array}{l} x=s,\\[4pt] y=6-4s,\\[4pt] z=8-5s, \end{array}\right.\quad s\in\mathbb{R}
ou, centrada em (1,2,3),
\{(1,2,3)+u(1,-4,-5)\mid u\in\mathbb{R}\}.]

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