Questão 8: Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então, resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio de reaquecimento para uma grande placa de aço com 120 mm de espessura (
) que está inicialmente a uma temperatura uniforme de
e deve ser aquecida a uma temperatura mínima de
. O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, no qual os produtos de combustão estão a temperatura
e mantêm um coeficiente de convecção
em ambas as superfícies da placa. Calcule quanto tempo a placa deve ser deixada dentro do forno e a temperatura máxima da placa de aço no mesmo instante de tempo definido para que o tratamento térmico proposto seja bem sucedido.
Passo 1
O enunciado pede que a placa de aço de espessura
(ou seja, espessura total) seja aquecida num forno cujos gases estão a
com coeficiente convectivo
, partindo de temperatura uniforme inicial
. A exigência é que a placa atinja pelo menos
(temperatura mínima requerida). Precisamos calcular:
- quanto tempo deve a placa ficar no forno para que a condição seja satisfeita;
- qual é a temperatura máxima na placa naquele instante de tempo (isto é, a maior temperatura dentro da placa no mesmo instante em que a condição mínima é alcançada).
Informações numéricas dadas (vou listar para facilitar o cálculo):
espessura total
. Coeficiente convectivo
, temperatura do gás
, temperatura inicial
, temperatura alvo mínima
.
Observação: o enunciado não especifica explicitamente “qual ponto” deve atingir
. Em tratamentos térmicos usualmente exige-se que o ponto mais frio da peça (que para aquecimento é o centro da placa) chegue à temperatura mínima. Vou, portanto, exigir que o centro da placa atinja
. A partir disso determinamos o tempo e então calculamos a temperatura máxima na placa naquele mesmo instante (que esperávamos ser nas superfícies).
Passo 2
Decidir o método de solução (por que usar este método).
- Este é um problema de condução unidimensional transiente em uma placa com convecção em ambas as superfícies — tópico clássico de transferência de calor.
- Primeiro calculemos o número de Biot para checar se podemos usar o modelo de capacidade concentrada (lumped capacitance). O número de Biot é
onde
é o comprimento característico. Para uma placa plana sólida o comprimento característico usual é a meia-espessura
. Não há indicação contrária, então usaremos
.
- Se
usamos o modelo lumped; se não, precisamos da solução transiente distribuída (série de autovalores / gráfico de Heisler). Vou calcular e, como será maior que , seguirei com a solução de condução transiente para parede plana com convecção nas superfícies (séries de autovalores, usando a aproximação de um termo quando possível).
Passo 3
Calcular parâmetros físicos e verificar o modelo lumped.
- meia-espessura:
- difusividade térmica:
Calcule:
- número de Biot:
Como
, o modelo lumped NÃO é adequado. Logo, usamos a solução de condução transiente para parede plana com convecção em ambas as superfícies.
Passo 4
Apresentar a solução teórica que vamos usar (fundamentos).
- Para uma placa plana de meia-espessura
com convecção nas duas superfícies, a solução de temperatura transiente em termos da temperatura adimensional é obtida por série de autovalores. Definimos a temperatura adimensional como
onde
é a coordenada adimensional (no centro
, na superfície
), e o número de Fourier é
- Os autovalores
são soluções da equação transcendental
- Os coeficientes da série (ver tabela clássica) para a solução por autovalores, avaliados no centro
, têm a forma (cada termo contribui com fator cos ; no centro cos ):
com
- Na prática, para muitos problemas o primeiro termo (
) domina e a aproximação de um termo (one-term approximation) fornece boa precisão, especialmente para não muito pequeno. Vou usar a aproximação de um termo (explicar passo a passo como obter , e Fo).
Passo 5
Resolver numericamente para o primeiro autovalor
a partir de
com
.
- Queremos
. Para pequeno, então , e uma aproximação inicial é . - Faço iterações rápidas por tentativa/erro (mostro os valores chave):
-
(um pouco maior que ). -
(um pouco menor). - Refinando entre
e : em obtém-se praticamente igualdade.
-
- Aceitamos
Passo 6
Calcular o coeficiente
usando
.
- Fórmula:
- Calculemos senos e termos:
- Substituindo:
Observação didática: coeficientes
podem ser próximos de 1 para o primeiro termo quando
não muito grande; a soma total da série dá
em
. Aqui usamos o primeiro termo dominante (one-term) para simplificar cálculo — isso é aceitável para nosso objetivo prático.
Passo 7
Determinar a condição adimensional que corresponde a
.
- Definição de
:
- Para
e temos . - Para
,
Também pode escrever como
.
Passo 8
Usar a aproximação de um termo para relacionar
com
.
- One-term approximation no centro:
- Isolando
:
- Substituindo valores numéricos:
Logo
Passo 9
Converter
em tempo
.
- Lembre que
, então
- Substituir
e :
- Em unidades mais familiares:
Portanto a placa deve permanecer no forno aproximadamente
(cerca de
minutos) para que o centro atinja
.
Passo 10
Calcular a temperatura máxima na placa naquele instante (qual é a maior temperatura interna naquele tempo).
- Em aquecimento a partir das superfícies, a maior temperatura interna será nas superfícies
(ou muito próxima delas), pois o forno aquece de fora para dentro. Assim, calculamos a temperatura da superfície no mesmo tempo, usando a mesma aproximação de um termo:
- Calcule
:
- Já sabemos
e (usado antes). - Assim
- Converter
novamente para temperatura:
- Substituindo:
- Portanto, a temperatura máxima na placa naquele instante é aproximadamente
, ocorrendo nas superfícies. (O centro está em por construção.)
Passo 11
Verificação rápida de consistência e observações práticas.
- O resultado faz sentido fisicamente: as superfícies aquecem mais rápido e ficam mais quentes que o centro; ao tempo em que o centro chega a
as superfícies estão mais quentes, mas ainda abaixo de porque há resistência convectiva. - A aproximação usada (one-term) costuma ter boa precisão para casos onde o primeiro autovalor domina — aqui
e é suficientemente grande para garantir que a contribuição do primeiro termo seja dominante. Se quiser precisão muito alta, poderia somar mais termos da série, mas para aplicação prática (tempo de têmpera) esta precisão é adequada.