Questão 8: Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então, resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio de reaquecimento para uma grande placa de aço com 120 mm de espessura ( \rho=7830 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3, \mathrm{c}=550 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), \mathrm{k}=48 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) que está inicialmente a uma temperatura uniforme de \mathrm{Ti}=250^{\circ} \mathrm{C} e deve ser aquecida a uma temperatura mínima de 500^{\circ} \mathrm{C}. O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, no qual os produtos de combustão estão a temperatura \mathrm{T} \infty=800^{\circ} \mathrm{C} e mantêm um coeficiente de convecção \mathrm{h}=160 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) em ambas as superfícies da placa. Calcule quanto tempo a placa deve ser deixada dentro do forno e a temperatura máxima da placa de aço no mesmo instante de tempo definido para que o tratamento térmico proposto seja bem sucedido.

Passo 1

O enunciado pede que a placa de aço de espessura 120\\ \mathrm{mm} (ou seja, espessura total) seja aquecida num forno cujos gases estão a T_\infty=800^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h=160\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, partindo de temperatura uniforme inicial T_i=250^\circ\mathrm{C}. A exigência é que a placa atinja pelo menos 500^\circ\mathrm{C} (temperatura mínima requerida). Precisamos calcular:
  • quanto tempo deve a placa ficar no forno para que a condição seja satisfeita;
  • qual é a temperatura máxima na placa naquele instante de tempo (isto é, a maior temperatura dentro da placa no mesmo instante em que a condição mínima é alcançada).
Informações numéricas dadas (vou listar para facilitar o cálculo):
\rho=7830\\ \mathrm{kg/m^3},\quad c=550\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad k=48\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
espessura total =120\\ \mathrm{mm}=0{,}120\\ \mathrm{m}. Coeficiente convectivo h=160\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, temperatura do gás T_\infty=800^\circ\mathrm{C}, temperatura inicial T_i=250^\circ\mathrm{C}, temperatura alvo mínima T_{\text{alvo}}=500^\circ\mathrm{C}.
Observação: o enunciado não especifica explicitamente “qual ponto” deve atingir 500^\circ\mathrm{C}. Em tratamentos térmicos usualmente exige-se que o ponto mais frio da peça (que para aquecimento é o centro da placa) chegue à temperatura mínima. Vou, portanto, exigir que o centro da placa atinja 500^\circ\mathrm{C}. A partir disso determinamos o tempo e então calculamos a temperatura máxima na placa naquele mesmo instante (que esperávamos ser nas superfícies).

Passo 2

Decidir o método de solução (por que usar este método).
  • Este é um problema de condução unidimensional transiente em uma placa com convecção em ambas as superfícies — tópico clássico de transferência de calor.
  • Primeiro calculemos o número de Biot para checar se podemos usar o modelo de capacidade concentrada (lumped capacitance). O número de Biot é
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde L_c é o comprimento característico. Para uma placa plana sólida o comprimento característico usual é a meia-espessura L=\tfrac{\text{espessura}}{2}. Não há indicação contrária, então usaremos L=0{,}120/2=0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Se \mathrm{Bi}<0{,}1 usamos o modelo lumped; se não, precisamos da solução transiente distribuída (série de autovalores / gráfico de Heisler). Vou calcular \mathrm{Bi} e, como será maior que 0{,}1, seguirei com a solução de condução transiente para parede plana com convecção nas superfícies (séries de autovalores, usando a aproximação de um termo quando possível).

Passo 3

Calcular parâmetros físicos e verificar o modelo lumped.
  • meia-espessura:
L=0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • difusividade térmica:
\alpha=\frac{k}{\rho c}=\frac{48}{7830\cdot 550}.
Calcule:
\rho c = 7830\cdot 550 = 4\,306\,500\\ \mathrm{J/(m^3\cdot K)},
\alpha=\frac{48}{4\,306\,500}=1{,}114\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}\\ (\text{aprox.}).
  • número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{hL}{k}=\frac{160\cdot 0{,}06}{48}=\frac{9{,}6}{48}=0{,}20.
Como \mathrm{Bi}=0{,}20>0{,}1, o modelo lumped NÃO é adequado. Logo, usamos a solução de condução transiente para parede plana com convecção em ambas as superfícies.

Passo 4

Apresentar a solução teórica que vamos usar (fundamentos).
  • Para uma placa plana de meia-espessura L com convecção nas duas superfícies, a solução de temperatura transiente em termos da temperatura adimensional \theta é obtida por série de autovalores. Definimos a temperatura adimensional como
\theta(x^*,\mathrm{Fo})=\frac{T(x,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty},
onde x^*=x/L é a coordenada adimensional (no centro x^*=0, na superfície x^*=1), e o número de Fourier é
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{L^2}.
  • Os autovalores \mu_n são soluções da equação transcendental
\mu_n \tan \mu_n = \mathrm{Bi}.
  • Os coeficientes da série (ver tabela clássica) para a solução por autovalores, avaliados no centro x^*=0, têm a forma (cada termo contribui com fator cos (\mu_n x^*); no centro cos =1):
\theta(0,\mathrm{Fo})=\sum_{n=1}^{\infty} C_n \exp(-\mu_n^2\mathrm{Fo}),
com
C_n=\frac{4\sin\mu_n}{2\mu_n+\sin(2\mu_n)}.
  • Na prática, para muitos problemas o primeiro termo ( n=1) domina e a aproximação de um termo (one-term approximation) fornece boa precisão, especialmente para \mathrm{Fo} não muito pequeno. Vou usar a aproximação de um termo (explicar passo a passo como obter \mu_1, C_1 e Fo).

Passo 5

Resolver numericamente para o primeiro autovalor \mu_1 a partir de \mu\tan\mu=\mathrm{Bi} com \mathrm{Bi}=0{,}20.
  • Queremos \mu\tan\mu=0{,}20. Para \mu pequeno, \tan\mu\approx\mu então \mu\tan\mu\approx\mu^2, e uma aproximação inicial é \mu\approx\sqrt{\mathrm{Bi}}=\sqrt{0{,}2}\approx 0{,}4472.
  • Faço iterações rápidas por tentativa/erro (mostro os valores chave):
    • \mu=0{,}45:\\ \tan(0{,}45)=0{,}483\Rightarrow \mu\tan\mu=0{,}217 (um pouco maior que 0{,}20).
    • \mu=0{,}43:\\ \tan(0{,}43)=0{,}456\Rightarrow \mu\tan\mu=0{,}196 (um pouco menor).
    • Refinando entre 0{,}43 e 0{,}45: em \mu\approx 0{,}43244 obtém-se praticamente igualdade.
  • Aceitamos
\mu_1\approx 0{,}43244.

Passo 6

Calcular o coeficiente C_1 usando \mu_1.
  • Fórmula:
C_1=\frac{4\sin\mu_1}{2\mu_1+\sin(2\mu_1)}.
  • Calculemos senos e termos:
\sin\mu_1=\sin(0{,}43244)\approx 0{,}41974,
\sin(2\mu_1)=\sin(0{,}86488)\approx 0{,}76014.
  • Substituindo:
C_1=\frac{4\cdot 0{,}41974}{2\cdot 0{,}43244 + 0{,}76014} =\frac{1{,}67896}{0{,}86488+0{,}76014} =\frac{1{,}67896}{1{,}62502}\approx 1{,}03294.
Observação didática: coeficientes C_n podem ser próximos de 1 para o primeiro termo quando \mathrm{Bi} não muito grande; a soma total da série dá \theta=1 em t=0. Aqui usamos o primeiro termo dominante (one-term) para simplificar cálculo — isso é aceitável para nosso objetivo prático.

Passo 7

Determinar a condição adimensional que corresponde a T_{\text{centro}}=500^\circ\mathrm{C}.
  • Definição de \theta:
\theta=\frac{T-T_\infty}{T_i-T_\infty}.
  • Para T_i=250^\circ\mathrm{C} e T_\infty=800^\circ\mathrm{C} temos T_i-T_\infty=250-800=-550\\ \mathrm{K}.
  • Para T_{\text{centro}}=500^\circ\mathrm{C},
\theta_{\text{centro}}=\frac{500-800}{250-800}=\frac{-300}{-550}=\frac{300}{550}=0{,}5454545\\ (\text{aprox. }0{,}54545).
Também pode escrever como \theta_{\text{centro}}=(800-500)/550=300/550.

Passo 8

Usar a aproximação de um termo para relacionar \theta_{\text{centro}} com \mathrm{Fo}.
  • One-term approximation no centro:
\theta_{\text{centro}} \approx C_1 \exp(-\mu_1^2 \mathrm{Fo}).
  • Isolando \mathrm{Fo}:
\mathrm{Fo} = -\frac{1}{\mu_1^2}\ln\!\left(\frac{\theta_{\text{centro}}}{C_1}\right).
  • Substituindo valores numéricos:
\mu_1^2=(0{,}43244)^2\approx 0{,}1870,
\frac{\theta_{\text{centro}}}{C_1}=\frac{0{,}5454545}{1{,}03294}\approx 0{,}52830,
\ln(0{,}52830)\approx -0{,}6370.
Logo
\mathrm{Fo}=-\frac{1}{0{,}1870}\cdot(-0{,}6370)\approx \frac{0{,}6370}{0{,}1870}\approx 3{,}407.

Passo 9

Converter \mathrm{Fo} em tempo t.
  • Lembre que \mathrm{Fo}=\dfrac{\alpha t}{L^2}, então
t=\frac{\mathrm{Fo}\, L^2}{\alpha}.
  • Substituir L^2=(0{,}06)^2=0{,}0036\\ \mathrm{m^2} e \alpha=1{,}114\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}:
t=3{,}407\cdot\frac{0{,}0036}{1{,}114\times 10^{-5}} =3{,}407\cdot 323{,}0\\ (\text{aprox.}) \approx 1\,101{,}7\\ \mathrm{s}.
  • Em unidades mais familiares:
t\approx 1{,}102\\ \mathrm{s}\approx 18{,}37\\ \text{minutos}.
Portanto a placa deve permanecer no forno aproximadamente 1{,}100\\ \mathrm{s} (cerca de 18{,}4 minutos) para que o centro atinja 500^\circ\mathrm{C}.

Passo 10

Calcular a temperatura máxima na placa naquele instante (qual é a maior temperatura interna naquele tempo).
  • Em aquecimento a partir das superfícies, a maior temperatura interna será nas superfícies x^*=1 (ou muito próxima delas), pois o forno aquece de fora para dentro. Assim, calculamos a temperatura da superfície no mesmo tempo, usando a mesma aproximação de um termo:
\theta_{\text{superf}}(\mathrm{Fo})\approx C_1\cos(\mu_1)\exp(-\mu_1^2\mathrm{Fo}).
  • Calcule \cos(\mu_1):
\cos(0{,}43244)\approx 0{,}90790.
  • Já sabemos C_1\approx 1{,}03294 e \exp(-\mu_1^2\mathrm{Fo})=\exp(-0{,}6370)\approx 0{,}5290 (usado antes).
  • Assim
\theta_{\text{superf}}\approx 1{,}03294\cdot 0{,}90790\cdot 0{,}5290\approx 0{,}4953.
  • Converter \theta novamente para temperatura:
T_{\text{superf}}=T_\infty + \theta_{\text{superf}}(T_i-T_\infty)=800 + \theta_{\text{superf}}\cdot(-550)=800-550\theta_{\text{superf}}.
  • Substituindo:
T_{\text{superf}}\approx 800-550\cdot 0{,}4953\approx 800-272{,}4\approx 527{,}6^\circ\mathrm{C}.
  • Portanto, a temperatura máxima na placa naquele instante é aproximadamente 527{,}6^\circ\mathrm{C}, ocorrendo nas superfícies. (O centro está em 500^\circ\mathrm{C} por construção.)

Passo 11

Verificação rápida de consistência e observações práticas.
  • O resultado faz sentido fisicamente: as superfícies aquecem mais rápido e ficam mais quentes que o centro; ao tempo em que o centro chega a 500^\circ\mathrm{C} as superfícies estão mais quentes, mas ainda abaixo de T_\infty=800^\circ\mathrm{C} porque há resistência convectiva.
  • A aproximação usada (one-term) costuma ter boa precisão para casos onde o primeiro autovalor domina — aqui \mathrm{Bi}=0{,}20 e \mathrm{Fo}\approx 3{,}4 é suficientemente grande para garantir que a contribuição do primeiro termo seja dominante. Se quiser precisão muito alta, poderia somar mais termos da série, mas para aplicação prática (tempo de têmpera) esta precisão é adequada.

Resposta

t \approx 1{,}102\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{s}\\ \approx 18{,}4\\ \text{min}
T_{\max}\\ (\text{na placa no mesmo instante}) \approx 527{,}6^\circ\mathrm{C}

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