Questão 4 (Justifique todas as suas respostas): ( 2,0 ).
Considere f\) a função definida por: \[f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { se } x<a \\\\ 9 & \text { se } x=a \\\\ 4 x-3 & \text { se } x>a\end{cases}
(a) Determine os valores de a\] para que exista \(\lim _{x \rightarrow a} f(x)
(b) Determine os valores de a para que f seja contínua.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes e pede duas coisas:
  • (a) Determinar os valores de [a) para que exista \lim_{x\to a} f(x).
  • (b) Determinar os valores de a para que f seja contínua.
Informações dadas (recolhidas do enunciado):
f(x)= \begin{cases} x^{2} & \text{se } x<a,\\[4pt] 9 & \text{se } x=a,\\[4pt] 4x-3 & \text{se } x>a. \end{cases}
A função depende do parâmetro real a\]. Não há outras restrições explícitas sobre \(a.]

Passo 2

Para a existência de \lim_{x\to a} f(x) usamos o fato básico sobre limites laterais: o limite \lim_{x\to a} f(x) existe se, e somente se, os limites lateral à esquerda e à direita existem e são iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Agora calculamos cada limite lateral, lembrando que polinômios são funções contínuas (logo \lim_{x\to a} x^{2}=a^{2} e \lim_{x\to a} (4x-3)=4a-3).
Cálculo do limite pela esquerda:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^-} x^{2}=a^{2}.
Cálculo do limite pela direita:
\lim_{x\to a^+} f(x)=\lim_{x\to a^+} (4x-3)=4a-3.
Portanto, a condição para que o limite em a exista é
a^{2}=4a-3.

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática encontrada. Colocando todos os termos num lado:
a^{2}-4a+3=0.
Fatorando:
a^{2}-4a+3=(a-1)(a-3).
Assim as raízes são
a=1 \quad\text{ou}\quad a=3.
Conclusão intermediária: os únicos valores de a que tornam iguais os dois limites laterais (logo possibilitam a existência de \lim_{x\to a} f(x)) são a=1 e a=3.
É útil saber também os valores desses limites:
  • Para a=1: \lim_{x\to 1} f(x)=1^{2}=1.
  • Para a=3: \lim_{x\to 3} f(x)=3^{2}=9 (ou 4\cdot3-3=9, consistente).
Observação: a existência do limite não depende do valor de f(a) — este valor pode ser diferente e mesmo assim o limite existe.

Passo 4

Agora tratamos continuidade. A definição que vamos usar: f é contínua em x=a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)\\ \text{existe e}\\ \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Como f é dada por polinômios nas partes esquerda e direita, f é contínua em todos os pontos x\neq a. Logo o único ponto que precisa ser checado é x=a.
Já sabemos que a condição necessária para haver limite é a\in\{1,3\}. Para continuidade em a é preciso, além do limite existir, que o valor no ponto satisfaça f(a)= esse limite comum. Lembremos que f(a)=9 (pela definição da função).
Verificação para cada caso:
  • Se a=1: o limite é \lim_{x\to 1} f(x)=1, enquanto f(1)=9. Como 1\neq 9, a igualdade exigida para continuidade falha. Portanto f NÃO é contínua em a=1.
  • Se a=3: o limite é \lim_{x\to 3} f(x)=9, e f(3)=9. As quantidades coincidem, então f é contínua em a=3.

Passo 5

Resumo lógico (sem repetir o bloco final): o limite em a existe exatamente quando a satisfaz a^{2}=4a-3, cujas soluções são a=1 e a=3. Destes, apenas em a=3 o valor de f(a) coincide com o limite, garantindo continuidade em a. Em todos os demais pontos x\neq a a função é contínua porque é polinomial nas partes.

Resposta

(a) a=1 e a=3
(b) a=3

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